Análisis de decisión

1 · El problema

Hay que elegir ahora entre varias alternativas, y lo que cada una rinda depende de algo que se va a saber después. El análisis de decisión ordena ese problema en tres piezas:

Pieza	Qué es	Quién la controla
Alternativas	Las acciones posibles	Quien decide
Estados de la naturaleza	Lo que puede pasar: exhaustivos y mutuamente excluyentes	Nadie
Resultados (pagos)	Lo que se gana o se pierde con cada combinación	La cuenta

Una hostería de la provincia evalúa ampliarse antes de la temporada. Puede no ampliar, hacer una ampliación chica o una grande, y lo que le convenga depende de cómo venga la demanda en los próximos años. El resultado neto de cada combinación, en millones de pesos:

	Demanda alta	Demanda media	Demanda baja
No ampliar	10	10	10
Ampliación chica	30	18	−5
Ampliación grande	55	15	−30

Esa es la tabla de pagos. Ninguna alternativa gana en todos los estados, y ese es el problema: si una ganara siempre (si dominara a las demás), no habría nada que decidir.

2 · Decidir sin probabilidades

Si no hay ninguna idea de qué tan probable es cada estado, hay criterios que deciden con la tabla sola. Cada uno expresa una actitud distinta frente a la incertidumbre:

• Maximin (pesimista): mirar el peor resultado de cada alternativa y elegir el mejor de esos peores. Peores: 10, −5 y −30 → no ampliar.
• Maximax (optimista): mirar el mejor resultado de cada una y elegir el mejor de los mejores. Mejores: 10, 30 y 55 → ampliación grande.
• Laplace: tratar los estados como igualmente probables y promediar. Promedios: 10; 14,3; 13,3 → ampliación chica.
• Minimax arrepentimiento (Savage): medir cuánto se pierde, en cada estado, por no haber elegido lo mejor para ese estado, y minimizar el peor arrepentimiento.
• Hurwicz: ponderar el mejor y el peor resultado con un coeficiente de optimismo $\alpha$, entre 0 y 1.

El arrepentimiento (o pérdida de oportunidad) se arma restando cada pago del mejor de su columna:

Arrepentimiento	Alta	Media	Baja	Máximo
No ampliar	45	8	0	45
Ampliación chica	25	0	15	25
Ampliación grande	0	3	40	40

El menor de los máximos es 25 → ampliación chica: es la alternativa con la que, pase lo que pase, uno menos se lamenta.

Con Hurwicz, el valor de cada alternativa es $\alpha \cdot \text{mejor} + (1 - \alpha) \cdot \text{peor}$, y la decisión cambia según cuánto optimismo se declare:

$\alpha$	Elige
menos de 0,429	No ampliar
entre 0,429 y 0,5	Ampliación chica
más de 0,5	Ampliación grande

7:45

3 · Decidir con probabilidades: el valor esperado

Si se pueden asignar probabilidades a los estados, el criterio estándar es elegir la alternativa de mayor valor esperado, que es la esperanza matemática del resultado:

$$VE(d_i) = \sum_j P(s_j)\, x_{ij}$$

La hostería estima, con lo que sabe del mercado, 0,3 de demanda alta, 0,5 de media y 0,2 de baja. Son probabilidades subjetivas en el sentido de las definiciones de probabilidad: no hay una frecuencia que observar, hay un juicio informado.

$$\begin{aligned} VE(\text{no ampliar}) &= 10 \\ VE(\text{chica}) &= 0{,}3 \cdot 30 + 0{,}5 \cdot 18 + 0{,}2 \cdot (-5) = 17 \\ VE(\text{grande}) &= 0{,}3 \cdot 55 + 0{,}5 \cdot 15 + 0{,}2 \cdot (-30) = 18 \end{aligned}$$

El valor esperado elige la ampliación grande, por un margen chico: 18 contra 17.

4 · El árbol de decisión

La misma información se dibuja como un árbol que se lee de izquierda a derecha, en el orden en que ocurren las cosas:

• un cuadrado es un nodo de decisión: ahí elige quien decide;
• un círculo es un nodo de azar: ahí elige la naturaleza, con las probabilidades escritas en sus ramas;
• al final de cada camino está el resultado.

El árbol se resuelve de derecha a izquierda (inducción hacia atrás): cada círculo se reemplaza por el valor esperado de sus ramas, y cada cuadrado por la mejor de las suyas. Con un solo nivel de decisión, como acá, el árbol no agrega nada a la tabla. Su ventaja aparece cuando hay decisiones encadenadas, por ejemplo decidir primero si conviene averiguar algo y recién después qué hacer, que es el problema de la sección 7.

5 · Análisis de sensibilidad

Las probabilidades son estimaciones, así que hay que preguntarse cuánto tendrían que cambiar para que cambie la decisión. Dejando la probabilidad de demanda baja fija en 0,2 y moviendo la de demanda alta, $p$, el valor esperado de cada alternativa es una recta:

$$VE(\text{chica}) = 13{,}4 + 12\,p \qquad VE(\text{grande}) = 6 + 40\,p$$

Se cortan en $p = 7{,}4 / 28 = 0{,}264$.

6 · El valor esperado de la información perfecta

Supóngase que alguien supiera de antemano, sin error, qué demanda va a venir. Con demanda alta se elegiría la grande (55), con media la chica (18) y con baja no ampliar (10). Antes de saber qué le van a decir, eso vale:

$$VECIP = 0{,}3 \cdot 55 + 0{,}5 \cdot 18 + 0{,}2 \cdot 10 = 27{,}5$$

La diferencia con lo mejor que se puede hacer sin información es el valor esperado de la información perfecta:

$$VEIP = VECIP - VE^{*} = 27{,}5 - 18 = 9{,}5$$

El VEIP también es igual al arrepentimiento esperado de la mejor alternativa: $0{,}3 \cdot 0 + 0{,}5 \cdot 3 + 0{,}2 \cdot 40 = 9{,}5$. No es casualidad: lo que vale saber es exactamente lo que se espera perder por no saber.

7 · Información muestral y Bayes

La información real nunca es perfecta. Un estudio de mercado puede dar favorable o desfavorable, y por la experiencia de la consultora se sabe qué tan seguido acierta en cada situación:

	Demanda alta	Demanda media	Demanda baja
$P(\text{favorable} \mid \text{estado})$	0,8	0,5	0,1

Para decidir hace falta lo inverso: dado lo que dijo el estudio, qué tan probable es cada estado. Es exactamente el problema del teorema de Bayes, con el denominador por probabilidad total:

	Alta	Media	Baja	Total
Conjunta con «favorable»	0,24	0,25	0,02	0,51
Posterior dado «favorable»	0,471	0,490	0,039	1
Conjunta con «desfavorable»	0,06	0,25	0,18	0,49
Posterior dado «desfavorable»	0,122	0,510	0,367	1

Con cada juego de posteriores se recalcula el valor esperado de las tres alternativas:

Resultado del estudio	No ampliar	Chica	Grande	Decisión
Favorable (0,51)	10	22,75	32,06	Ampliación grande
Desfavorable (0,49)	10	11,02	3,37	Ampliación chica

Eso es una estrategia de decisión: una regla que dice qué hacer ante cada resultado posible, decidida antes de verlo. Su valor esperado pondera cada rama por la probabilidad de que el estudio dé ese resultado:

$$VECIM = 0{,}51 \cdot 32{,}06 + 0{,}49 \cdot 11{,}02 = 21{,}75$$

y el valor esperado de la información muestral es lo que el estudio agrega sobre decidir sin él:

$$VEIM = 21{,}75 - 18 = 3{,}75$$

El estudio vale porque puede cambiar la decisión: con un resultado desfavorable lleva a la ampliación chica. Un estudio cuyos dos resultados llevaran a la misma alternativa valdría exactamente cero, por preciso que fuera.

8 · Errores frecuentes

• Confundir el valor esperado con lo que va a pasar. El 18 de la ampliación grande no es un resultado posible: los posibles son 55, 15 y −30.
• Decidir por valor esperado cuando el riesgo importa. Con una decisión que se toma una sola vez y una pérdida que no se puede absorber, dos alternativas con el mismo valor esperado no son equivalentes.
• Pagar por información que no cambia la decisión. Si todos los resultados posibles del estudio llevan a la misma alternativa, su valor es cero.
• Usar $P(\text{resultado} \mid \text{estado})$ como si fuera $P(\text{estado} \mid \text{resultado})$. El 0,8 de acierto con demanda alta no es la probabilidad de demanda alta cuando el estudio da favorable: esa es 0,471. Es la misma inversión indebida que en el teorema de Bayes.
• Comparar el VEIM con el precio del estudio sin restar. El VEIM ya es la ganancia neta de la información respecto de no tenerla; lo que se compara con él es el costo, no el VECIM.
• No hacer análisis de sensibilidad. Las probabilidades de los estados son juicios; una decisión que se da vuelta con un cambio de 0,04 no se puede presentar como si fuera firme.
• Omitir estados o alternativas. Los estados tienen que ser exhaustivos y mutuamente excluyentes, y una alternativa olvidada no la rescata ningún criterio.

9 · En el software

# R — la tabla de pagos es una matriz y todo lo demás son cuentas
pagos <- matrix(c(10, 10, 10,
                  30, 18, -5,
                  55, 15, -30), nrow = 3, byrow = TRUE,
                dimnames = list(c("no", "chica", "grande"),
                                c("alta", "media", "baja")))
previa <- c(0.3, 0.5, 0.2)

apply(pagos, 1, min)                    # maximin: 10 -5 -30
arrep <- sweep(-pagos, 2, apply(pagos, 2, max), "+")
apply(arrep, 1, max)                    # minimax arrepentimiento: 45 25 40

ve   <- pagos %*% previa                # 10 17 18
veip <- sum(apply(pagos, 2, max) * previa) - max(ve)   # 9.5

# Información muestral
p_fav  <- c(0.8, 0.5, 0.1)
vecim  <- 0
for (lk in list(p_fav, 1 - p_fav)) {
  conj  <- previa * lk
  post  <- conj / sum(conj)             # Bayes
  vecim <- vecim + sum(conj) * max(pagos %*% post)
}
vecim - max(ve)                         # VEIM: 3.75

# Python
import numpy as np

pagos = np.array([[10, 10, 10], [30, 18, -5], [55, 15, -30]])
previa = np.array([0.3, 0.5, 0.2])

ve = pagos @ previa                                  # [10, 17, 18]
veip = (pagos.max(axis=0) * previa).sum() - ve.max() # 9.5

p_fav = np.array([0.8, 0.5, 0.1])
vecim = sum((previa * lk).sum() * (pagos @ (previa * lk / (previa * lk).sum())).max()
            for lk in (p_fav, 1 - p_fav))
vecim - ve.max()                                     # 3.75

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Análisis de decisión}},
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