Ajustá la recta a mano

Qué se minimiza

Cada punto queda a cierta distancia vertical de la recta: su residuo, lo que la recta no explica de ese punto. «Mínimos cuadrados» quiere decir elegir la recta que hace mínima la suma de los residuos al cuadrado. En el simulador los cuadrados están dibujados literalmente: el lado de cada uno es un residuo, así que su área es el residuo al cuadrado, y la cifra grande del panel es la suma de todas las áreas.

Elevar al cuadrado hace dos cosas. Evita que los residuos positivos y negativos se cancelen, y castiga mucho más los residuos grandes que los chicos: un punto a 4 unidades de la recta pesa lo mismo que dieciséis puntos a 1. Esa segunda propiedad es la que hace que la recta se deje arrastrar por un punto alejado.

De dónde sale lo que te sobra

Para cualquier recta, la suma de cuadrados se separa exactamente en tres partes: la mínima, que no se puede bajar con ninguna recta, más un exceso por la altura y otro por la pendiente.

SC(tu recta) = SC mínima + n·(h − ȳ)² + Sxx·(b − b̂)²

Acá h es la altura de tu recta en la media de x, b su pendiente, b̂ la de mínimos cuadrados y Sxx la suma de los desvíos de x al cuadrado. Los dos excesos son cuadrados, así que nunca son negativos, y valen cero solo cuando la recta pasa por el centro de la nube (x̄, ȳ) y tiene la pendiente b̂. Esa es la recta de mínimos cuadrados, y la identidad muestra de un saque por qué siempre pasa por la cruz del gráfico.

El panel usa la identidad para darte una pista: si pesa más el exceso por altura, conviene subir o bajar la recta entera; si pesa más el de pendiente, girarla alrededor de la cruz.

Un atípico en y y un punto con palanca

Tildá también la recta de mínimos absolutos, que minimiza la suma de los residuos sin elevarlos al cuadrado. Con «Un atípico en y» —el tercer conjunto de Anscombe— la diferencia es enorme: diez puntos están sobre una recta perfecta y uno se escapa hacia arriba. La recta de absolutos se queda exactamente sobre los diez, con pendiente 0,35; la de cuadrados se inclina hacia el atípico, con pendiente 0,50.

Pero la protección tiene un límite, y se ve con «Un punto con palanca». Ahí el punto raro no está arriba de los demás sino lejos en x, en un extremo del eje. Sin él los veinte puntos restantes no tienen tendencia —pendiente 0,04—, y con él las dos rectas se inclinan: 0,56 la de cuadrados y 0,62 la de absolutos. Un punto con x extremo tiene palanca: mueve la recta desde la punta, y usar valores absolutos no lo evita. Por eso, antes de confiar en cualquier recta, se miran los puntos influyentes.

Por qué se usan cuadrados, entonces

Porque tienen solución exacta y única, con fórmula cerrada: la pendiente es la covarianza dividida por la varianza de x. Porque, si los errores son normales, dan los estimadores de menor varianza entre todos los insesgados. Y porque todo lo que viene después —el R², los intervalos, las pruebas sobre la pendiente, el ANOVA— se construye sobre sumas de cuadrados. La recta de absolutos no tiene fórmula, puede no ser única, y se calcula resolviendo un problema de optimización.