Rango o recorrido

1 · Definición

El rango —o recorrido, o amplitud total— es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo:

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

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2 · Para qué sirve

Tiene tres usos legítimos, y ninguno es describir la dispersión de un conjunto grande:

Control rápido de la base. Es lo primero que se mira al recibir datos: un rango absurdo delata errores de carga. Si la edad va de 2 a 187, hay un problema.

Construir intervalos de clase. El rango es el punto de partida del cálculo de la amplitud.

Describir conjuntos muy chicos. Con pocas mediciones el rango casi no pierde información frente al desvío estándar: con datos normales y cinco casos, estimar el desvío a partir del rango tiene una eficiencia del 95 %; con diez baja al 85 %, y de ahí en adelante sigue cayendo. De ahí viene su uso en control de procesos, que es el único lugar donde se lo sigue usando como medida de dispersión en serio.

3 · Por qué no alcanza

Porque depende de dos valores y descarta todo el resto. Dos conjuntos con el mismo rango pueden tener dispersiones completamente distintas: uno con todos los casos amontonados en el centro y dos extremos sueltos, otro con los casos repartidos de manera uniforme.

Además crece con el tamaño de la muestra, y eso se puede cuantificar. Estas son las amplitudes promedio de muestras tomadas de una misma población normal, medidas en desvíos estándar:

Tamaño de la muestra	Rango medio
5	2,3 σ
10	3,1 σ
25	3,9 σ
100	5,0 σ
1.000	6,5 σ
10.000	7,7 σ

Por eso el rango de dos muestras de distinto tamaño no es comparable, aunque vengan de la misma población, y por eso no se usa para inferencia. La varianza y el rango intercuartílico no tienen ese problema: en promedio estiman lo mismo con 30 casos que con 30.000, aunque con 30.000 lo estimen con más precisión.

4 · Un ejemplo

Con el ingreso de la ocupación principal (EPH, 1T 2026):

$$R = 40.000.000 - 5.000 = 39.995.000$$

Un rango de casi cuarenta millones de pesos. ¿Qué dice sobre cómo se reparten los ingresos? Prácticamente nada: lo determinan dos personas de 15.448.

Las medidas que sí describen: el rango intercuartílico es de $900.000 y el desvío estándar de $1.063.114. Esos dos números sí resumen al conjunto.

Con la edad de los mismos ocupados, el rango es $88 - 13 = 75$ años, y ahí sí informa algo razonable, porque la variable no tiene una cola larga.

Y además cumple su función de control. Un rango que arranca en 13 años obliga a mirar el extremo: hay 6 ocupados menores de 15 en la muestra. No es un error de carga, es trabajo infantil que la encuesta registra, y es justamente el tipo de cosa que el rango hace aparecer antes que cualquier otra medida.

5 · El rango en control de procesos

Hay un ámbito donde el rango no es un resumen pobre sino la herramienta indicada: el control de calidad industrial, donde se miden subgrupos chicos y frecuentes —cinco piezas cada media hora— y hace falta una medida que se calcule en el piso de la planta, sin computadora.

Ahí se usa una propiedad que la tabla de arriba deja ver: para una población normal, el rango medio de muestras de tamaño $n$ es un múltiplo conocido del desvío. Esa constante se llama $d_2$, y permite ir en la dirección contraria:

$$\hat{\sigma} = \frac{\bar{R}}{d_2}$$

Con subgrupos de 5 piezas, $d_2 = 2{,}326$; con 10, $3{,}078$. Se promedia el rango de muchos subgrupos, se divide por la constante y se obtiene una estimación del desvío del proceso sin calcular una sola varianza. Sobre eso están construidos los gráficos de control X̄-R.

6 · Un problema abierto

Las dos cosas que dice esta entrada —que el rango crece con $n$ y que $d_2$ lo corrige suponiendo normalidad— dejan una pregunta sin contestar: qué hacer cuando los datos no son normales y aun así hace falta dividir por el rango.

No es una curiosidad teórica. La velocidad a la que crece el rango depende de la distribución, y depende bastante. Medido en desvíos, el rango medio al pasar de 10 a 10.000 casos crece así:

Distribución	Con 10 casos	Con 10.000	Crece
Normal	3,08 σ	7,70 σ	×2,5
Exponencial	2,83 σ	9,79 σ	×3,5
Uniforme	2,83 σ	3,46 σ	×1,2

La normal y la exponencial están en el mismo grupo de la teoría de valores extremos, y aun así una crece bastante más que la otra. Así que la constante $d_2$, prestada de la normal, corrige de menos en unos casos y de más en otros. En las distribuciones de soporte acotado, como la uniforme, llega a corregir un crecimiento que casi no existe, y deja el resultado peor que sin corregir.

Es un problema abierto, no un tema resuelto que esta entrada esté resumiendo. El caso Medir la dispersión cuando la media está en cero lo trabaja sobre datos reales.

7 · Cómo se informa

El rango se informa dando los dos extremos, no solo la resta:

Los ingresos se ubicaron entre $5.000 y $40.000.000.

Es más útil que “el rango fue de $39.995.000”, porque ubica al lector en la escala de la variable. Y nunca va solo: acompaña a una medida de dispersión que sí use todos los datos.

8 · Errores frecuentes

• Usarlo como única medida de dispersión. Es el error central de este tema. El rango complementa; no reemplaza al desvío estándar ni al RIC.
• Comparar rangos de muestras de distinto tamaño. El más grande va a tener rango mayor casi siempre, y eso no dice nada sobre la variabilidad de la población.
• Olvidar que un atípico lo domina. Un solo error de carga infla el rango completo. Si el rango parece raro, lo primero es revisar los extremos.
• Confundirlo con el rango intercuartílico. Son cosas distintas: el RIC usa los cuartiles y es robusto; el rango usa los extremos y no lo es.
• Estimar el desvío a partir del rango en datos asimétricos. La regla $\bar{R}/d_2$ es de control de procesos y supone normalidad.
• Informarlo en una variable acotada como si dijera algo. El rango de una escala de 1 a 5 casi siempre es 4.
• Calcularlo con clases abiertas. Si la última clase es “65 y más”, no hay máximo y no hay rango.
• Calcularlo sobre variables ordinales. Se puede informar el valor mínimo y el máximo (“de primario incompleto a superior completo”), pero restarlos no tiene sentido: en una ordinal las distancias no están definidas.

9 · En el software

# R — devuelve los dos extremos, no la resta
range(datos$edad)          # 13 88
diff(range(datos$edad))    # 75
max(datos$edad) - min(datos$edad)

# Python — max() y min() de pandas ignoran los faltantes
datos["edad"].max() - datos["edad"].min()
datos["edad"].agg(["min", "max"])

Excel:    =MAX(rango) - MIN(rango)
SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Descriptivos › Opciones
          › Rango, Mínimo, Máximo

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