Índices simples y compuestos

1 · Índice simple

El de un solo artículo:

$$I_t = \frac{p_t}{p_0} \times 100$$

Si el kilo de pan pasó de $800 a $1.200, su índice es 150: subió 50 %.

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2 · Índice compuesto

El de varios artículos a la vez. Y acá aparece el problema central del tema: ¿cómo se combinan?

Método	Fórmula	Problema
Promedio simple de índices	$\frac{1}{n}\sum \frac{p_t}{p_0} \times 100$	trata igual al pan que al caviar
Agregativo simple	$\frac{\sum p_t}{\sum p_0} \times 100$	depende de las unidades de medida
Ponderado	$\sum w_i \frac{p_{it}}{p_{i0}}$	el correcto, si los pesos tienen sentido

3 · El problema de las unidades

El agregativo simple tiene un defecto que lo descalifica:

4 · La solución: ponderar

$$I_t = \sum_i w_i \frac{p_{it}}{p_{i0}} \times 100 \qquad \sum_i w_i = 1$$

Los ponderadores $w_i$ representan la importancia de cada artículo, y salen de datos externos al índice: en el IPC, de una encuesta de gastos de los hogares.

5 · Los cinco cálculos, con los mismos números

Cuatro productos, sus precios de dos momentos y su peso en el gasto:

Producto	Precio 0	Precio t	Relativo	Peso
Pan (kg)	800	1.200	1,50	0,40
Leche (l)	1.000	1.300	1,30	0,30
Carne (kg)	5.000	8.000	1,60	0,25
Caviar (100 g)	50.000	100.000	2,00	0,05

Los mismos datos, cinco fórmulas, cinco resultados:

Cálculo	Índice	Qué le pasa
Promedio simple de relativos (Carli)	160,0	El caviar pesa igual que el pan
Cociente de las sumas (Dutot)	194,5	Lo domina el producto más caro
Media geométrica simple (Jevons)	158,1	Sin pesos, pero menos sensible a los saltos
Ponderado aritmético	149,0	Cada producto pesa lo que gasta la gente
Ponderado geométrico	148,1	Ídem, con algo de sustitución

Y el defecto del Dutot se ve en un segundo: si el pan se cotiza en gramos en vez de kilos —el mismo pan, el mismo aumento— su índice pasa de 194,5 a 195,2. Una fórmula cuyo resultado depende de la unidad elegida no puede ser un indicador.

6 · Media aritmética o geométrica

Hay una decisión adicional, menos conocida y con consecuencias:

Media	Comportamiento
Aritmética	más sensible a los aumentos grandes; sesgo hacia arriba
Geométrica	supone alguna sustitución entre productos; menor

7 · Índices de volumen y de valor

La misma maquinaria se aplica a cantidades:

Índice	Qué compara
De precios	precios, con cantidades fijas
De volumen o cantidad	cantidades, con precios fijos
De valor	el gasto total, que combina las dos

Y se relacionan: valor = precio × cantidad, así que el índice de valor es aproximadamente el producto de los otros dos. Ver índices de precio, cantidad y valor.

8 · Errores frecuentes

• Promediar índices sin ponderar.
• Usar el agregativo simple, que depende de las unidades.
• Inventar los ponderadores en lugar de tomarlos de una fuente.
• No declarar qué fórmula se usó. Con los mismos precios, el resultado cambia decenas de puntos.
• No actualizar nunca los pesos, que es lo que envejece a un índice.
• Actualizarlos todos los años sin empalmar, que rompe la comparabilidad.
• Confundir un índice de precios con uno de valor.

9 · En el software

# R — índice compuesto ponderado
relativos <- precios_t / precios_0
indice <- sum(pesos * relativos) * 100

# Con media geométrica dentro de cada grupo
indice_geo <- prod(relativos^pesos) * 100

# Los tres elementales, sin ponderadores
mean(relativos) * 100                          # Carli
sum(precios_t) / sum(precios_0) * 100          # Dutot
prod(relativos)^(1/length(relativos)) * 100    # Jevons

# Verificación obligatoria
sum(pesos)      # tiene que dar 1

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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