Agrupamiento por densidad y por forma

1 · El problema que resuelven

K-medias asigna cada caso al centro más cercano, así que las fronteras entre grupos son rectas y los grupos, esféricos. Cuando la estructura real no tiene esa forma, no la encuentra mal: no la encuentra.

2 · Los tres métodos

Método	Qué busca	Qué hay que elegir
DBSCAN	regiones densas separadas por zonas vacías	$\varepsilon$ y mínimo de puntos
Mezclas gaussianas	$k$ nubes normales superpuestas	$k$ y la forma de las covarianzas
Espectral	grupos conectados, aunque sean alargados	$k$ y los vecinos del grafo

DBSCAN marca como núcleo a todo punto con al menos m vecinos a distancia $\varepsilon$, y encadena núcleos vecinos en un grupo. Lo que no llega a ningún grupo queda como ruido: es el único de los tres que puede decir “este caso no pertenece a ninguno”.

Las mezclas gaussianas modelan los datos como suma de $k$ normales multivariadas y estiman, para cada caso, la probabilidad de pertenecer a cada una. K-medias es su caso particular con covarianzas esféricas iguales y asignación dura.

El espectral arma un grafo de vecinos, lo corta donde hay menos conexiones y agrupa sobre los valores propios de ese grafo. Por eso no le importa la forma: le importa qué está conectado con qué.

3 · Qué formas encuentra cada uno

Índice de Rand ajustado contra la verdad, 400 casos, dos dimensiones. A DBSCAN se le da el mejor $\varepsilon$ de una grilla en cada réplica —una ventaja que en la práctica no se tiene—:

Si los grupos son	k-medias	Mezclas	Espectral	DBSCAN
Esféricos, tamaño parecido	0,914	0,908	0,904	0,723
Tamaños 80/10/10	0,940	0,967	0,900	0,940
Densidades muy distintas	0,746	0,970	0,930	0,938
Alargados	0,002	0,019	1,000	1,000
Dos lunas	0,247	0,493	0,959	0,999
Círculos anidados	−0,002	−0,002	1,000	1,000

4 · Sobre datos reales pierden

Los 32 aglomerados y sus diez indicadores, buscando el grupo patagónico que el jerárquico y k-medias encuentran:

Método	Resultado
k-medias ($k$=3)	los cuatro, exacto
Espectral ($k$=3)	7 casos: los cuatro + 3 más
Mezclas gaussianas	no se pueden ajustar (ver abajo)
DBSCAN	nunca lo encuentra, con ningún $\varepsilon$

La mezcla ni siquiera se puede ajustar

Tres componentes con covarianzas diagonales en diez dimensiones piden $3 \times (10 + 10) + 2 = \textbf{62 parámetros}$ para 32 observaciones. El resultado, con cuatro semillas distintas y diez arranques cada una:

Semilla	Tamaño del grupo de Ushuaia
0	14
1	4
7	5
2026	27

Por qué DBSCAN no lo encuentra nunca

No es la dimensión —tampoco lo encuentra sobre los dos primeros componentes—. Es que busca otra cosa:

	Los 4 patagónicos	Los otros 28
Distancia media a sus 3 vecinos	3,48	2,19

5 · Lo que cada uno pide a cambio

DBSCAN pide $\varepsilon$, y no hay forma de elegirlo mirando el resultado sin hacer trampa. En la tabla de la sección 3 el óptimo va de 0,20 a 0,95 según el escenario: un valor que funciona en un conjunto de datos no dice nada sobre el siguiente.

Las mezclas piden la forma de las covarianzas, y la decisión pesa más de lo que parece.

El espectral pide cuántos vecinos conectar en el grafo, y con pocos puntos eso decide el resultado.

6 · Lo único que sabe decir “acá no hay grupos”

Todo el módulo viene mostrando que estas técnicas siempre devuelven algo. Las mezclas gaussianas son la excepción parcial, porque el BIC puede comparar $k = 1$ contra $k > 1$:

Datos	El BIC responde “un solo grupo”
Una sola nube normal, 300 casos	100 % de las veces

Y ese 65 % es culpa del valor por defecto

Con grupos verdaderamente esféricos, $k = 3$ y separación 2,5, según qué estructura de covarianzas se le pida al modelo:

covariance_type	Parámetros por grupo	Acierta $k=3$
spherical (la verdad)	1	100 %
diag	4	96 %
tied	1 matriz común	96 %
full (el valor por defecto)	10	65 %

7 · Cuál usar

Situación	Método
Nubes aproximadamente elípticas y separadas	k-medias
Nubes normales de distinta dispersión	mezclas gaussianas
Hace falta la probabilidad de pertenencia	mezclas gaussianas
Formas arbitrarias: espirales, lunas, anillos	espectral
Hay que identificar casos que no pertenecen a nada	DBSCAN
Muchos puntos, pocas dimensiones, densidad real	DBSCAN
¿Hay grupos, o ninguno?	BIC de una mezcla

8 · Errores frecuentes

• Pasar a un método sofisticado sin mirar la forma de los datos. Con nubes elípticas y separadas, k-medias le gana a los tres.
• Usar DBSCAN para encontrar grupos separados. Busca grupos densos: el grupo patagónico está separado y es un 59 % menos denso que el resto, y lo marca como ruido.
• Elegir $\varepsilon$ probando hasta que el resultado guste. El óptimo varía entre 0,20 y 0,95 según el conjunto de datos.
• Aplicar DBSCAN con pocos puntos y muchas dimensiones: no hay densidad que detectar.
• Dejar covariance_type en su valor por defecto sin pensarlo. Cuesta 35 puntos de acierto al elegir $k$.
• Ajustar una mezcla con más parámetros que observaciones. En el caso son 62 para 32, y cuatro corridas dan cuatro respuestas distintas sin ningún aviso.
• Leer el BIC como si resolviera cuántos grupos hay. Resuelve si hay alguno.
• Reportar los puntos de ruido de DBSCAN como un grupo más. No lo son.
• Comparar métodos por el resultado que más gusta en lugar de por su desempeño en la geometría que los datos tienen.

9 · En el software

# R
library(dbscan); library(mclust); library(kernlab)

# DBSCAN — el gráfico de k-distancias ayuda a proponer eps
kNNdistplot(Z, k = 4); abline(h = 0.6, lty = 2)
db <- dbscan(Z, eps = 0.6, minPts = 5)
db$cluster            # 0 es ruido, no un grupo

# Mezclas: Mclust prueba las formas de covarianza y los k, y elige por BIC
m <- Mclust(Z)
m$G                   # cuántos grupos eligió (puede ser 1)
m$modelName           # y con qué forma de covarianzas
m$z                   # probabilidades de pertenencia

# Espectral
specc(as.matrix(Z), centers = 3)

# Python
from sklearn.cluster import DBSCAN, SpectralClustering
from sklearn.mixture import GaussianMixture

DBSCAN(eps=0.6, min_samples=5).fit_predict(Z)      # -1 es ruido
SpectralClustering(3, affinity='nearest_neighbors',
                   n_neighbors=10).fit_predict(Z)

# El BIC decide k, incluido k=1; y conviene comparar formas de covarianza
for ct in ('spherical', 'diag', 'tied', 'full'):
    for k in range(1, 8):
        print(ct, k, GaussianMixture(k, covariance_type=ct,
                                     random_state=0).fit(Z).bic(Z))

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