Calculadora
Combinatoria
Las seis fórmulas de conteo, con resultados exactos aunque tengan cientos de dígitos. Y dos preguntas para saber cuál es la tuya, que suele ser la parte difícil.
Si no sabés cuál usar
Dos preguntas alcanzan. La dificultad de la combinatoria casi nunca está en la cuenta: está en saber cuál de las seis fórmulas es tu problema.
La cuenta
Se eligen k de n y el orden NO importa. Ningún elemento se repite.
Combinaciones · n! / (k! · (n − k)!)
120
Elegir 3 de 10 combinaciones da 120 posibilidades.
Las cinco cuentas sobre los mismos n y k
Sirve para ver de un vistazo cuánto cambia el resultado según cómo se interprete el problema. Elegir mal la fórmula no da un número parecido: da uno de otro orden de magnitud.
| Fórmula | Orden | Repite | Resultado |
|---|---|---|---|
| Combinaciones | No | No | 120 |
| Variaciones | Sí | No | 720 |
| Combinaciones con repetición | No | Sí | 220 |
| Variaciones con repetición | Sí | Sí | 1.000 |
| Permutaciones(usa n, no k) | Sí | No | 3.628.800 |
Dos preguntas y listo
Las seis fórmulas se distinguen por dos cosas, y nada más: ¿cambia el resultado si cambia el orden? y ¿se puede repetir un elemento?
Un podio de tres corredores cambia si cambia el orden: oro, plata y bronce no son intercambiables. Un grupo de tres delegados, no: los mismos tres son los mismos tres. Una clave de cuatro dígitos permite repetir; una mano de cinco cartas, no.
Cuando el orden importa y no hay repetición queda una distinción más: si se usan todos los elementos es una permutación, y si se eligen solo algunos, una variación. Pero es la misma cuenta: una permutación es una variación donde k resulta igual a n.
El error de contar de más
El más común, por lejos, es usar variaciones donde va una combinación. Elegir 3 personas de 10 para un comité da 120 formas; si además se les asigna un cargo a cada una, da 720. El factor 6 es exactamente 3!, que son los órdenes posibles de cada grupo de tres.
Por eso la calculadora muestra las cinco cuentas sobre los mismos n y k. No es decorativo: sirve para darse cuenta de que elegir mal la fórmula no devuelve un número parecido sino uno de otro orden de magnitud, y que si el resultado le parece sospechosamente grande, probablemente esté contando cada grupo varias veces.
Por qué acá los números salen exactos
Los factoriales crecen de una manera que rompe las calculadoras. En el formato de números que usan los navegadores —el mismo de cualquier planilla de cálculo— el primero que deja de ser exacto es 23!, y a partir de 171! el resultado es directamente «infinito».
El de 23! es un buen ejemplo de lo silencioso que es el problema. El valor correcto termina en 976.640.000 y una planilla devuelve 25.852.016.738.884.978.212.864: se equivoca en 1.572.864 sin avisar nada. Con combinaciones el desvío aparece incluso antes, en C(62,31).
Acá todo se calcula con enteros de precisión ilimitada, así que C(2000, 1000) sale con sus 601 dígitos correctos. Se muestra abreviado porque un número así no se lee, pero está completo y se puede copiar.
Hay un detalle de implementación que vale la pena contar: las combinaciones no se calculan como n! dividido por k!(n−k)!, aunque esa sea la fórmula. Se multiplica y divide de a un paso, porque el producto parcial siempre resulta divisible y así nunca hace falta construir el factorial entero. Con n = 2000, hacerlo por la fórmula directa significaría armar un número de 5.736 dígitos para después tirar casi todo.
Las permutaciones con repetición
Es la cuenta de los anagramas: ¿cuántas palabras distintas salen de las letras de ESTADISTICA? Son once letras, pero hay tres A, dos S, dos T y dos I, y las repetidas son indistinguibles entre sí.
La fórmula divide el factorial del total por el factorial de cada grupo repetido. La calculadora cuenta las repeticiones sola: se escribe la palabra y ella arma los grupos.
Para qué sirve, además de para el parcial
La combinatoria es la base de la probabilidad clásica: cuando todos los resultados son igualmente probables, la probabilidad es «casos favorables sobre casos posibles», y contar esos casos es exactamente esto.
También está adentro de la distribución binomial: el número combinatorio que aparece en su fórmula cuenta de cuántas maneras pueden ubicarse los k éxitos entre los n intentos.