Chi-cuadrado como medida de asociación

1 · La idea

El chi-cuadrado compara lo observado con lo que habría si las variables fueran independientes:

$$\chi^{2} = \sum \frac{(O - E)^{2}}{E} \qquad E_{ij} = \frac{(\text{total fila}) \times (\text{total columna})}{n}$$

Acá se lo trata como descriptivo: cuánto se aparta esta tabla. Como prueba de hipótesis —si el apartamiento es mayor que el esperable por azar— está en chi-cuadrado de independencia.

2 · El cálculo, paso a paso

Observado:

	No registrado	Registrado	Total
Hasta sec. incompleto	2.045	1.472	3.517
Secundario completo+	3.140	7.207	10.347
Total	5.185	8.679	13.864

Esperado —cada uno es fila × columna / n—:

	No registrado	Registrado
Hasta sec. incompleto	1.315,3	2.201,7
Secundario completo+	3.869,7	6.477,3

Los cuatro términos:

Celda	$O$	$E$	$(O-E)^2/E$
Sin sec. / no reg.	2.045	1.315,3	404,8
Sin sec. / reg.	1.472	2.201,7	241,8
Con sec. / no reg.	3.140	3.869,7	137,6
Con sec. / reg.	7.207	6.477,3	82,2
Total			866,4

3 · El problema: depende del n

El chi-cuadrado crece proporcionalmente al tamaño de la muestra. Si los mismos porcentajes se observaran en una muestra diez veces mayor, el estadístico sería diez veces mayor.

Muestra	Porcentajes	$\chi^2$
13.864 casos	idénticos	866,4
1.386 casos	idénticos	86,6
138 casos	idénticos	8,7

Para medir intensidad hay que normalizarlo por $n$, que es exactamente lo que hacen phi y la V de Cramér.

4 · Los residuos: dónde está la asociación

El chi-cuadrado total no dice qué celdas se apartan. Para eso están los residuos estandarizados:

$$r_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}$$

o, mejor, los residuos ajustados, que se comparan con una normal estándar: un valor mayor a 2 en valor absoluto señala una celda que contribuye significativamente.

En una tabla grande es la herramienta que convierte un “hay asociación” en un “el grupo A está sobrerrepresentado en la categoría 3”.

5 · Sus límites

• No tiene dirección. Un chi-cuadrado grande no dice hacia dónde va la asociación: hay que mirar la tabla.
• No tiene tope. No es un número entre 0 y 1: no se puede decir “asociación del 866”.
• Es sensible a las celdas con pocos casos esperados, que inflan los términos al dividir por un $E$ chico.
• Trata a las variables como nominales. Si las categorías tienen orden, el chi-cuadrado lo ignora y desperdicia información; ahí conviene una medida ordinal como Spearman.

6 · Errores frecuentes

• Comparar chi-cuadrados de tablas con distinto $n$.
• Calcularlo sobre porcentajes. El resultado no significa nada.
• Usar las observadas en el denominador. Van las esperadas.
• Interpretarlo como un porcentaje o una proporción.
• Concluir la dirección de la asociación sin mirar los porcentajes condicionales.
• Ignorar el orden de las categorías cuando lo tienen.

7 · En el software

# R
prueba <- chisq.test(tabla, correct = FALSE)
prueba$statistic      # 866.41
prueba$expected       # las frecuencias esperadas
prueba$residuals      # residuos estandarizados
prueba$stdres         # residuos ajustados: |r| > 2 marca la celda

# Python
from scipy import stats
chi2, p, gl, esperado = stats.chi2_contingency(tabla, correction=False)
residuos = (tabla - esperado) / np.sqrt(esperado)

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