Chi-cuadrado como medida de asociación

1 · La idea

El chi-cuadrado compara lo observado con lo que habría si las variables fueran independientes:

$$\chi^{2} = \sum \frac{(O - E)^{2}}{E}$$ $$E_{ij} = \frac{(\text{total fila}) \times (\text{total columna})}{n}$$

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Acá se lo trata como descriptivo: cuánto se aparta esta tabla. Como prueba de hipótesis —si el apartamiento es mayor que el esperable por azar— está en chi-cuadrado de independencia.

2 · El cálculo, paso a paso

Observado:

	No registrado	Registrado	Total
Hasta sec. incompleto	2.045	1.472	3.517
Secundario completo+	3.140	7.207	10.347
Total	5.185	8.679	13.864

Esperado —cada uno es fila × columna / n—:

	No registrado	Registrado
Hasta sec. incompleto	1.315,3	2.201,7
Secundario completo+	3.869,7	6.477,3

Los cuatro términos:

Celda	$O$	$E$	$(O-E)^2/E$
Sin sec. / no reg.	2.045	1.315,3	404,8
Sin sec. / reg.	1.472	2.201,7	241,8
Con sec. / no reg.	3.140	3.869,7	137,6
Con sec. / reg.	7.207	6.477,3	82,2
Total			866,4

3 · El problema: depende del n

El chi-cuadrado crece proporcionalmente al tamaño de la muestra. Si los mismos porcentajes se observaran en una muestra diez veces mayor, el estadístico sería diez veces mayor.

Muestra	Porcentajes	$\chi^2$
13.864 casos	idénticos	866,4
1.386 casos	idénticos	86,6
138 casos	idénticos	8,7

Es la cuenta proporcional: con 138 casos los porcentajes no pueden salir idénticos, porque los conteos son enteros, y redondeando las celdas da 8,2. La idea no cambia.

Para medir intensidad hay que normalizarlo por $n$, que es exactamente lo que hacen phi y la V de Cramér. Con esta tabla, phi es la raíz de $866{,}4/13.864$, o sea 0,25: una asociación moderada, muy lejos de la impresión que da el 866.

4 · Los residuos: dónde está la asociación

El chi-cuadrado total no dice qué celdas se apartan. Para eso están los residuos estandarizados:

$$r_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}$$

Sobre esta tabla dan:

	No registrado	Registrado
Hasta sec. incompleto	+20,1	−15,6
Secundario completo+	−11,7	+9,1

El signo dice la dirección —positivo es “más casos de los esperados”— y la magnitud, cuánto aporta cada celda. Acá se lee de un vistazo: hay muchos más asalariados sin secundario y no registrados de los que habría si las dos variables fueran independientes.

Mejor todavía son los residuos ajustados, que corrigen por los márgenes y se comparan con una normal estándar: un valor mayor a 2 en valor absoluto señala una celda que se aparta de manera notable. En una tabla 2×2 los cuatro dan lo mismo en valor absoluto —acá 29,4— porque hay un solo grado de libertad; en tablas más grandes es la herramienta que convierte un “hay asociación” en un “el grupo A está sobrerrepresentado en la categoría 3”.

5 · La corrección de Yates

Con tablas 2×2, R y scipy aplican por defecto una corrección que resta 0,5 a cada diferencia antes de elevarla al cuadrado:

$$\chi^{2}_{c} = \sum \frac{(|O - E| - 0{,}5)^{2}}{E}$$

La idea es compensar que se está aproximando algo discreto —conteos— con una distribución continua. En esta tabla el efecto es mínimo: 865,2 en vez de 866,4. Con muestras chicas, en cambio, puede cambiar bastante el resultado.

6 · Sus límites

• No tiene dirección. Un chi-cuadrado grande no dice hacia dónde va la asociación: hay que mirar la tabla.
• No tiene tope. No es un número entre 0 y 1: no se puede decir “asociación del 866”.
• Es sensible a las celdas con pocos casos esperados, que inflan los términos al dividir por un $E$ chico. La regla habitual pide que todas las esperadas superen 5, o al menos que el 80 % de las celdas lo haga y ninguna baje de 1. En esta tabla la más chica es 1.315, así que no hay problema.
• Trata a las variables como nominales. Si las categorías tienen orden, el chi-cuadrado lo ignora y desperdicia información; ahí conviene una medida ordinal para tablas, como la gamma de Goodman-Kruskal o la tau-b de Kendall.

7 · Errores frecuentes

• Comparar chi-cuadrados de tablas con distinto $n$.
• Calcularlo sobre porcentajes. El resultado no significa nada.
• Calcularlo sobre datos ponderados sin cuidado. Con los pesos expandidos, el “n” pasa a ser la población entera y el estadístico se vuelve enorme y sin sentido: con esta tabla da 629.485. Los porcentajes se describen ponderados, pero la prueba va sobre los casos o, mejor, con la corrección de Rao-Scott para encuestas (survey::svychisq en R), que tiene en cuenta el efecto de diseño.
• Usar las observadas en el denominador. Van las esperadas.
• Interpretarlo como un porcentaje o una proporción.
• No declarar si se usó la corrección de Yates.
• Concluir la dirección de la asociación sin mirar los porcentajes condicionales o los residuos.
• Ignorar el orden de las categorías cuando lo tienen.

8 · En el software

# R — la tabla de casos, sin ponderar
tabla <- table(datos$educacion, datos$registrado)
prueba <- chisq.test(tabla, correct = FALSE)
prueba$statistic      # 866.41
prueba$expected       # las frecuencias esperadas
prueba$residuals      # residuos estandarizados
prueba$stdres         # residuos ajustados: |r| > 2 marca la celda

# Python
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

tabla = pd.crosstab(datos["educacion"], datos["registrado"])
chi2, p, gl, esperado = stats.chi2_contingency(tabla, correction=False)
residuos = (tabla - esperado) / np.sqrt(esperado)   # estandarizados

SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Tablas cruzadas
          › Estadísticos › Chi-cuadrado
          › Casillas › Residuos: Tipificados y Tipificados corregidos
          (los "tipificados corregidos" son los residuos ajustados)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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