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La paradoja de Simpson
Un tratamiento gana en los dos estratos y pierde en el total. No es un error de cuentas: movés un control y la paradoja aparece y desaparece sin que ninguna tasa cambie.
Cómo se reparte cada grupo entre los estratos. Es lo único que el control mueve: las tasas de cada celda no se tocan.
Los dos grupos mantienen su tamaño: lo que cambia es adentro.
Qué está pasando
En los datos de los cálculos renales —publicados en el British Medical Journal en 1986— la cirugía abierta cura al 93 % de los cálculos chicos y al 73 % de los grandes. La nefrolitotomía cura al 87 % y al 69 %. La cirugía abierta gana en los dos grupos, por seis y por cuatro puntos. Y sin embargo, en el total, cura al 78 % contra el 83 % de la nefrolitotomía.
La explicación está en el reparto. A la cirugía abierta le mandaron los casos difíciles: el 75 % de sus pacientes tenía cálculos grandes, contra el 23 % de la otra. Está ganando las dos carreras y perdiendo la suma porque corrió casi siempre la carrera difícil.
Eso es todo. No hay ninguna rareza matemática: un promedio de dos números depende de con qué peso se los promedia, y acá los dos grupos usan pesos distintos porque se repartieron distinto.
Por qué el control es una recta
El control mueve el reparto de los dos grupos hacia uno común, sin tocar ninguna tasa por estrato. Con t = 0 los repartos son los de verdad; con t = 1 los dos grupos están repartidos igual, que es exactamente una estandarización directa a la población combinada.
Y la diferencia entre las dos tasas totales resulta lineal en t:
De ahí sale que, si hay paradoja —o sea, si las dos diferencias tienen signos distintos—, hay un único punto donde se cruzan, y está en forma cerrada. En los cálculos renales es t = 0,460: repartiendo la mitad del camino hacia el reparto común, los dos tratamientos empatan. Un poco más y la cirugía abierta pasa a ganar también en el total.
Dicho de otra manera: la paradoja no es un abismo entre dos mundos. Es un segmento, y uno puede caminarlo.
Berkeley no es una paradoja de libro
El caso de las admisiones de posgrado en Berkeley en 1973 es el que le dio fama al asunto, y conviene mirarlo con cuidado. En el total entraron el 44,5 % de los varones y el 30,4 % de las mujeres, una brecha de catorce puntos. Ajustando por departamento la brecha se da vuelta: 43,0 % contra 38,7 %, a favor de las mujeres.
Pero no es una reversión estricta: las mujeres tienen más admisión en cuatro de los seis departamentos, no en los seis. La paradoja de manual —ganar en todos y perder en el total— es un caso extremo de algo más común y más importante: que el total y las partes contesten preguntas distintas.
Lo que el ajuste muestra en Berkeley es que las mujeres se anotaron mucho más en los departamentos con menos vacantes. Eso no cierra la discusión sobre discriminación: la cambia de lugar. Pregunta por qué las carreras se reparten así, que es otra pregunta y necesita otros datos.
Cuál de las dos respuestas es la correcta
Depende de la pregunta, y esa es la parte incómoda. Si uno se pregunta «a un paciente con un cálculo grande, ¿qué le conviene?», la respuesta está en el estrato: cirugía abierta. Si se pregunta «de todos los que se trataron el año pasado, ¿a quiénes les fue mejor?», la respuesta es el total, y es la nefrolitotomía, aunque eso no le sirva a nadie para decidir.
La regla práctica: cuando la variable que define los estratos influye sobre cuál grupo te toca y también sobre el resultado —como acá, donde el tamaño del cálculo decide el tratamiento y también la chance de éxito—, hay que ajustar. La tasa cruda está comparando dos poblaciones distintas.
Y cuando la variable de estratos es consecuencia del grupo en vez de causa, ajustar es el error. No hay una regla que salga de los datos: sale de saber qué causó qué.
Cómo desarmarla en tus datos
Con el botón de editar se pueden cambiar los conteos. Probá mover un solo número: cuántos pacientes del segundo tratamiento hay en el estrato donde le va peor. Sin tocar ninguna tasa por estrato, la paradoja aparece y desaparece.
El indicador de desbalance del reparto resume cuánto se separan los dos grupos: vale cero cuando se reparten igual y uno cuando no comparten ningún estrato. Con desbalance cero no puede haber paradoja, y eso se ve en la tercera tabla de ejemplo, donde la diferencia cruda y la ajustada dan exactamente lo mismo.
Cómo está verificado
Las tasas se recalculan con NumPy y las tablas de ejemplo se comparan contra los números publicados. Encima van las identidades que no pueden fallar: que en t = 1 la comparación cruda coincida exactamente con la estandarización directa, que la diferencia sea lineal en t sobre todo el recorrido, que en el cruce las dos tasas den iguales, que mover el reparto no cambie el tamaño de ningún grupo, y que con desbalance cero la cruda y la ajustada coincidan.