Curva de Lorenz y coeficiente de Gini

1 · La curva de Lorenz

Relaciona la población acumulada, ordenada de menor a mayor ingreso, con el ingreso acumulado que concentra.

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2 · El coeficiente de Gini

$$G = \frac{\text{área entre la diagonal y la curva}}{\text{área bajo la diagonal}}$$

Equivale al doble del área entre las dos líneas, y va de 0 a 1:

$G$	Significa
0	igualdad perfecta: todos tienen lo mismo
1	concentración total: una persona tiene todo
0,25 – 0,35	desigualdad baja (países nórdicos)
0,40 – 0,50	desigualdad alta (América Latina)

3 · Los diez deciles

El Gini del ejemplo es 0,420, y esta es la distribución que resume:

Decil	% del ingreso		Decil	% del ingreso
1	1,3 %		6	8,7 %
2	3,0 %		7	10,1 %
3	4,5 %		8	12,5 %
4	5,9 %		9	16,1 %
5	7,4 %		10	30,7 %

Indicador derivado	Valor
Razón decil 10 / decil 1	24,2
Índice de Palma (decil 10 / deciles 1 a 4)	2,1

4 · Lo que un solo número no puede distinguir

Un Gini de 0,40 puede corresponder a:

• Una sociedad con una élite muy rica y el resto parejo.
• Una sociedad con una base muy pobre y el resto parejo.

Las dos requieren políticas opuestas. Por eso el Gini se acompaña de:

Medida	Qué agrega
Participación por deciles	dónde está concentrado
Razón 10/1 o 20/20	la brecha entre extremos
Índice de Palma	decil 10 sobre los cuatro deciles más pobres
Índice de Theil	descomponible entre grupos y dentro de grupos

5 · Sus otros usos

No es exclusivo de ingresos: se aplica a cualquier distribución donde importe la concentración.

• Tierra: concentración de la propiedad rural.
• Mercados: concentración de ventas entre empresas.
• Salud: distribución de recursos sanitarios entre regiones.
• Educación: años de escolaridad.

6 · Detalles de cálculo

Con datos agrupados —por deciles— el Gini se subestima, porque se pierde la desigualdad que hay adentro de cada grupo. Cuánto, con estos mismos datos:

Cálculo	Gini
Con microdatos	0,4199
Con la tabla de diez deciles	0,4094

Una centésima de diferencia, un 2,5 % menos, solo por trabajar con la tabla publicada en vez de con la base. Con quintiles en lugar de deciles la subestimación es mayor.

Con ponderadores, como los de una encuesta, hay que usarlos: el cálculo simple sobre casos sin ponderar da un valor distinto.

Su error estándar no tiene fórmula sencilla: se estima por bootstrap.

7 · Errores frecuentes

• Comparar Gini de universos distintos: ingreso individual, familiar, per cápita, antes o después de impuestos.
• Interpretarlo como porcentaje. Un Gini de 0,42 no es “42 % de desigualdad”.
• Reportarlo solo, sin la participación por deciles.
• Calcularlo sobre datos agrupados y compararlo con uno de microdatos.
• Ignorar los ponderadores de la encuesta.
• Usar un intervalo que ignore el diseño muestral.
• Leer variaciones chicas como cambios reales: sin intervalo de confianza, una diferencia de 0,005 no significa nada.

8 · En el software

# R
library(ineq)
Gini(ingreso)
plot(Lc(ingreso))                    # la curva de Lorenz

# Con ponderadores
library(acid)
weighted.gini(ingreso, w = PONDERA)

# El IC, por bootstrap de conglomerados, no de casos
boot(ingreso, function(x, i) Gini(x[i]), R = 1000)

# Python
import numpy as np
def gini(x, w=None):
    w = np.ones_like(x) if w is None else w
    o = np.argsort(x); x, w = x[o], w[o]
    p = np.cumsum(w) / w.sum()
    q = np.cumsum(w * x) / (w * x).sum()
    return 1 - np.sum((q[1:] + q[:-1]) * np.diff(p))

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