Prueba de Kolmogorov-Smirnov

1 · La idea

Compara distribuciones acumuladas y se queda con la máxima distancia vertical entre ellas:

$$D = \max_x \left| F_n(x) - F(x) \right|$$

2 · Sus dos versiones

De una muestra: contrasta los datos contra una distribución teórica.

$$H_0: \text{los datos provienen de } F$$

De dos muestras: contrasta si dos muestras vienen de la misma distribución.

$$H_0: F_1 = F_2$$

La segunda es la más útil, y es sensible a cualquier diferencia: de posición, de dispersión o de forma.

Qué detecta, comparada con Mann-Whitney

Sesenta casos por grupo, 20.000 réplicas:

Diferencia entre los grupos	KS de dos muestras	Mann-Whitney
Solo posición (+0,5 desvíos)	0,640	0,756
Solo dispersión (desvíos 1 y 2)	0,528	0,058
Solo forma (normal vs uniforme)	0,088	0,046
Nada (control)	0,047	0,049

3 · El ejemplo

Contra una normal. El ingreso tipificado de la EPH contra la normal estándar:

$$D = 0{,}2016 \qquad p < 10^{-177}$$

Una distancia máxima de 0,20 es enorme: en algún punto, la proporción acumulada observada difiere en 20 puntos porcentuales de la que tendría una normal.

Entre dos muestras. Ingreso de varones contra mujeres:

$$D = 0{,}1819 \qquad p < 10^{-110}$$

4 · Su gran limitación como prueba de normalidad

Si los parámetros $\mu$ y $\sigma$ se estiman de los mismos datos —que es lo habitual—, el valor p que devuelve la versión estándar es demasiado grande: la prueba se vuelve conservadora y no detecta apartamientos reales.

La solución es la corrección de Lilliefors, que ajusta la distribución del estadístico para ese caso.

5 · Dónde sí es la mejor opción

• Comparar dos muestras sin suponer nada sobre sus distribuciones.
• Contrastar contra una distribución teórica completamente especificada, con parámetros conocidos de antemano y no estimados.
• Datos continuos sin agrupar, donde el chi-cuadrado obligaría a elegir intervalos arbitrarios.
• Validar un generador de números aleatorios contra la uniforme.

6 · Sus otros límites

Es más sensible en el centro que en las colas. Justo donde suelen estar las diferencias interesantes. La prueba de Anderson-Darling pondera más las colas y por eso suele preferirse. Contra la normal estándar con parámetros conocidos, 60 casos:

Alternativa	KS	Anderson-Darling
Desplazada en el centro (+0,3)	0,520	0,615
Colas cortas (uniforme)	0,175	0,166
Colas pesadas (t de 4 gl)	0,071	0,343
Contaminada 5 % en las colas	0,052	0,319
Normal estándar (control)	0,051	0,051

Requiere datos continuos. Y no es una advertencia menor. Nivel real con la nula cierta:

Datos	$n$ por grupo	KS de dos muestras	Mann-Whitney
Continuos	30	0,030	0,044
Continuos	100	0,038	0,048
Likert de 5 puntos	100	0,006	0,049
Binaria	100	0,006	0,055
Conteo (Poisson)	100	0,009	0,052

No indica dónde ni cómo difieren.

7 · Errores frecuentes

• Usarla para normalidad con parámetros estimados, sin la corrección de Lilliefors.
• Preferirla a Shapiro-Wilk para contrastar normalidad.
• Aplicarla a datos muy discretizados. Con una escala Likert su $\alpha$ real es del 0,6 %: no rechaza casi nunca.
• Usarla para detectar atípicos o colas pesadas. Ahí es ciega: Anderson-Darling detecta el 32 % donde KS se queda en el 5 %.
• Concluir en qué difieren las distribuciones desde el valor p.
• No graficar las dos acumuladas, que es donde se ve la diferencia.
• Confundir el $D$ con una proporción interpretable. Es una distancia máxima, no un promedio.

8 · En el software

# R
ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))     # ojo: parámetros estimados
nortest::lillie.test(x)                 # la versión correcta para normalidad

ks.test(varones, mujeres)               # dos muestras

# El gráfico, que es lo más informativo
plot(ecdf(varones), col = "steelblue")
lines(ecdf(mujeres), col = "tomato")

# Python
from scipy import stats
stats.kstest(z, 'norm')
stats.ks_2samp(varones, mujeres)

SPSS:     Explorar › Gráficos con pruebas de normalidad
          (informa "Kolmogorov-Smirnov con corrección de Lilliefors")

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