Curvas de Kaplan-Meier y log-rank

1 · El estimador

Kaplan-Meier estima la supervivencia multiplicando, en cada momento en que ocurre un evento, la probabilidad de sobrevivirlo:

$$\hat{S}(t) = \prod_{t_i \le t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right)$$

donde $d_i$ son los eventos en $t_i$ y $n_i$ los en riesgo justo antes.

2 · Un ejemplo mínimo

Diez pacientes, con + indicando censura:

$$2,\; 3^+,\; 4,\; 6,\; 7^+,\; 9,\; 11,\; 12^+,\; 15,\; 18^+$$

$t$	En riesgo	Eventos	$1 - d/n$	$\hat{S}(t)$
2	10	1	0,900	0,900
4	8	1	0,875	0,788
6	7	1	0,857	0,675
9	5	1	0,800	0,540
11	4	1	0,750	0,405
15	2	1	0,500	0,203

Dos lecturas más que salen de la misma tabla y conviene hacer en voz alta:

• La mediana es 11, porque es el primer tiempo en que la curva cae a 0,5 o por debajo —de 0,540 a 0,405—. No es el promedio de los tiempos ni el tiempo del quinto paciente.
• La curva termina en 0,203 y nunca llega a cero, porque el último dato es un censado. Todo lo que pasa después del mes 15 es desconocido, y el escalón final —de 0,405 a 0,203— lo produce una sola muerte entre dos pacientes.

3 · Cómo se lee la curva

Es escalonada: baja solo cuando ocurre un evento. Los censados se marcan con una cruz o un tick, sin producir escalón.

Elemento	Qué informa
Altura de la curva	proporción que sobrevive hasta ese momento
Mediana	donde la curva cruza el 0,5
Tamaño de los escalones	crece al final, con menos casos en riesgo
Tabla de en riesgo	cuántos quedan en cada momento

Por qué la cola engaña

Un estudio de 300 pacientes, mediana de 24 meses, seguido hasta los 72:

En riesgo	Mes	$\hat{S}(t)$	Ancho del IC	Ancho relativo	Un evento la baja
250	6,3	0,835	0,084	10 %	0,4 %
149	17,6	0,601	0,115	19 %	0,7 %
79	30,4	0,415	0,124	30 %	1,3 %
39	42,8	0,288	0,127	44 %	2,6 %
18	53,7	0,210	0,132	63 %	5,8 %
8	61,6	0,153	0,147	99 %	15,2 %
4	65,8	0,106	0,161	159 %	31,7 %
2	68,4	0,044	0,110	252 %	67,5 %

4 · La mediana y sus problemas

Se reporta la mediana de supervivencia, no la media: con censura, la media no se estima bien porque depende de la cola no observada.

5 · La prueba de log-rank

Compara dos o más curvas completas.

$$H_0: \text{las curvas de supervivencia son iguales}$$

Compara, en cada momento de evento, los eventos observados en cada grupo contra los esperados si no hubiera diferencia, y acumula. El estadístico se distribuye chi-cuadrado.

Su punto débil: tiene poca potencia si las curvas se cruzan. Con curvas que se separan temprano y vuelven a juntarse, la potencia medida cae al 13 % —y comparar a fecha fija tampoco lo detecta—. Ahí la diferencia promedio es chica aunque el efecto sea grande y cambiante, y conviene mirar el gráfico antes que el valor p.

6 · Qué reportar

Elemento
La curva con bandas de confianza
La tabla de en riesgo	debajo del eje
Mediana de cada grupo con IC	o supervivencia a un tiempo fijo
Valor p del log-rank
Hazard ratio con IC	del modelo de Cox
$n$ y cantidad de eventos por grupo

La afirmación, medida

Cuatro estudios con un efecto real idéntico —HR = 0,50— y la misma cantidad de eventos, conseguida acortando el seguimiento a medida que crece la muestra:

Pacientes	Seguimiento	Eventos	Potencia
120	22,5 meses	59,1	75,4 %
300	7,0 meses	58,2	74,3 %
800	2,5 meses	58,8	72,1 %
2.000	1,0 mes	59,0	74,0 %

7 · Errores frecuentes

• Omitir la tabla de sujetos en riesgo. Es el único elemento del gráfico que avisa que la cola no se sostiene: ni la curva ni la banda de confianza cambian de aspecto.
• Interpretar la cola de la curva sin mirar cuántos casos la sostienen. Con dos en riesgo, la incertidumbre relativa es del 252 % y un solo evento baja la curva un 67 %.
• Leer una banda de confianza angosta como precisión. Al final de la curva se angosta porque $\hat{S}$ ya es chico, no porque se sepa más.
• Reportar la media en lugar de la mediana.
• Informar una mediana que no se alcanzó.
• Usar log-rank con curvas que se cruzan. La potencia cae al 13 %.
• Comparar proporciones a una fecha fija en lugar de las curvas.
• Comparar muchos grupos de a pares sin ajustar el nivel.
• Extender la curva más allá del último seguimiento.
• Planificar el estudio por cantidad de pacientes. Lo que determina la potencia son los eventos: 120 pacientes y 2.000 rinden igual si producen los mismos 59 eventos.

8 · En el software

# R
library(survival); library(survminer)

km <- survfit(Surv(tiempo, evento) ~ grupo, data = d)
summary(km)                          # la tabla completa
km                                   # medianas con IC

ggsurvplot(km, data = d,
           risk.table = TRUE,        # la tabla de en riesgo: nunca FALSE
           conf.int = TRUE,
           pval = TRUE)              # el log-rank

survdiff(Surv(tiempo, evento) ~ grupo, data = d)

# Cuántos eventos hay detrás de todo esto
sum(d$evento)                        # y no nrow(d)

# Python
from lifelines import KaplanMeierFitter
from lifelines.statistics import logrank_test

kmf = KaplanMeierFitter().fit(t, e, label='grupo A')
kmf.plot_survival_function(at_risk_counts=True)   # con la tabla
kmf.median_survival_time_

logrank_test(t1, t2, e1, e2)

SPSS:     Analizar › Supervivencia › Kaplan-Meier
          Opciones › Tablas de supervivencia trae los "en riesgo" por tramo;
          el gráfico no los dibuja debajo del eje, hay que agregarlos aparte.

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
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