Prueba para una proporción

El estadístico z con p₀ en el denominador, el valor p bilateral y la decisión al 1, al 5 o al 10 %. La mitad de los ejercicios rechaza y la otra mitad no.

12 ejercicios · 36 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
Una empresa de encuestas sostiene que el 30 % de los hogares de la ciudad usa transporte público a diario. En una muestra de 100 hogares, 43 lo usan. Se prueba H₀: p = 0,30 contra una alternativa bilateral, al 5 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
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  2,8368tolerancia ±0,02
  p̂ = 43 / 100 = 0,4300. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,4300 − 0,30) / √(0,30 × 0,70 / 100) = 0,1300 / 0,0458 = 2,8368.
  Si te dio otro número
  2,6259 — Se usó p̂ en el error estándar. Eso es lo del intervalo de confianza; en la prueba se supone cierta la nula, y va p₀.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0046tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 2,84. 2 × P(Z > 2,84) = 0,0046.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  1
  El valor p es 0,0046, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que el 30 % de los hogares use transporte público.
Ejercicio 2
Según el fabricante, el 15 % de las lámparas de un lote dura más de dos años. De 200 lámparas probadas, 33 superaron los dos años. Se prueba H₀: p = 0,15 contra una alternativa bilateral, al 5 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
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  0,5941tolerancia ±0,02
  p̂ = 33 / 200 = 0,1650. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,1650 − 0,15) / √(0,15 × 0,85 / 200) = 0,0150 / 0,0252 = 0,5941.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
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  0,5525tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 0,59. 2 × P(Z > 0,59) = 0,5525.
  Si te dio otro número
  0,2762 — Es una sola cola. La alternativa es bilateral: el valor p suma las dos.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  0
  El valor p es 0,5525, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que el 15 % de las lámparas dure más de dos años; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 3
Un ministerio informa que el 65 % de los chicos de 6 años tiene el calendario de vacunas completo. En una muestra de 120 chicos, 62 lo tienen. Se prueba H₀: p = 0,65 contra una alternativa bilateral, al 1 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
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  -3,0622tolerancia ±0,02
  p̂ = 62 / 120 = 0,5167. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,5167 − 0,65) / √(0,65 × 0,35 / 120) = -0,1333 / 0,0435 = -3,0622.
  Si te dio otro número
  -2,9228 — Se usó p̂ en el error estándar. Eso es lo del intervalo de confianza; en la prueba se supone cierta la nula, y va p₀.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0022tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 3,06. 2 × P(Z > 3,06) = 0,0022.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 1 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  1
  El valor p es 0,0022, que es menor que 0,01: se rechaza. Los datos son incompatibles con que el 65 % tenga el calendario completo.
Ejercicio 4
Históricamente, el 35 % de los ingresantes de una facultad aprueba Matemática en el primer intento. Con un curso nuevo, de 560 ingresantes aprobaron 208. Se prueba H₀: p = 0,35 contra una alternativa bilateral, al 10 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
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  1,0632tolerancia ±0,02
  p̂ = 208 / 560 = 0,3714. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,3714 − 0,35) / √(0,35 × 0,65 / 560) = 0,0214 / 0,0202 = 1,0632.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
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  0,2877tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 1,06. 2 × P(Z > 1,06) = 0,2877.
  Si te dio otro número
  0,1439 — Es una sola cola. La alternativa es bilateral: el valor p suma las dos.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 10 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  0
  El valor p es 0,2877, que no es menor que 0,10: no se rechaza. Eso no prueba que la aprobación siga en el 35 %; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 5
Una empresa de encuestas sostiene que el 50 % de los hogares de la ciudad usa transporte público a diario. En una muestra de 560 hogares, 249 lo usan. Se prueba H₀: p = 0,50 contra una alternativa bilateral, al 5 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
  Ver la respuesta
  -2,62tolerancia ±0,02
  p̂ = 249 / 560 = 0,4446. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,4446 − 0,50) / √(0,50 × 0,50 / 560) = -0,0554 / 0,0211 = -2,6200.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0088tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 2,62. 2 × P(Z > 2,62) = 0,0088.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0088, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que el 50 % de los hogares use transporte público.
Ejercicio 6
Según el fabricante, el 55 % de las lámparas de un lote dura más de dos años. De 140 lámparas probadas, 77 superaron los dos años. Se prueba H₀: p = 0,55 contra una alternativa bilateral, al 5 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
  Ver la respuesta
  0tolerancia ±0,02
  p̂ = 77 / 140 = 0,5500. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,5500 − 0,55) / √(0,55 × 0,45 / 140) = 0,0000 / 0,0420 = 0,0000.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  1tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 0,00. 2 × P(Z > 0,00) = 1,0000.
  Si te dio otro número
  0,5 — Es una sola cola. La alternativa es bilateral: el valor p suma las dos.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  0
  El valor p es 1,0000, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que el 55 % de las lámparas dure más de dos años; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 7
Un ministerio informa que el 20 % de los chicos de 6 años tiene el calendario de vacunas completo. En una muestra de 540 chicos, 136 lo tienen. Se prueba H₀: p = 0,20 contra una alternativa bilateral, al 1 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
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  3,0123tolerancia ±0,02
  p̂ = 136 / 540 = 0,2519. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,2519 − 0,20) / √(0,20 × 0,80 / 540) = 0,0519 / 0,0172 = 3,0123.
  Si te dio otro número
  2,7758 — Se usó p̂ en el error estándar. Eso es lo del intervalo de confianza; en la prueba se supone cierta la nula, y va p₀.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0026tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 3,01. 2 × P(Z > 3,01) = 0,0026.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 1 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0026, que es menor que 0,01: se rechaza. Los datos son incompatibles con que el 20 % tenga el calendario completo.
Ejercicio 8
Históricamente, el 60 % de los ingresantes de una facultad aprueba Matemática en el primer intento. Con un curso nuevo, de 380 ingresantes aprobaron 233. Se prueba H₀: p = 0,60 contra una alternativa bilateral, al 10 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
  Ver la respuesta
  0,5236tolerancia ±0,02
  p̂ = 233 / 380 = 0,6132. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,6132 − 0,60) / √(0,60 × 0,40 / 380) = 0,0132 / 0,0251 = 0,5236.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,6006tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 0,52. 2 × P(Z > 0,52) = 0,6006.
  Si te dio otro número
  0,3003 — Es una sola cola. La alternativa es bilateral: el valor p suma las dos.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 10 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  0
  El valor p es 0,6006, que no es menor que 0,10: no se rechaza. Eso no prueba que la aprobación siga en el 60 %; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 9
Una empresa de encuestas sostiene que el 25 % de los hogares de la ciudad usa transporte público a diario. En una muestra de 560 hogares, 114 lo usan. Se prueba H₀: p = 0,25 contra una alternativa bilateral, al 5 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
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  -2,5373tolerancia ±0,02
  p̂ = 114 / 560 = 0,2036. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,2036 − 0,25) / √(0,25 × 0,75 / 560) = -0,0464 / 0,0183 = -2,5373.
  Si te dio otro número
  -2,7286 — Se usó p̂ en el error estándar. Eso es lo del intervalo de confianza; en la prueba se supone cierta la nula, y va p₀.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,0112tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 2,54. 2 × P(Z > 2,54) = 0,0112.
  Si te dio otro número
  0,0056 — Es una sola cola. La alternativa es bilateral: el valor p suma las dos.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0112, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que el 25 % de los hogares use transporte público.
Ejercicio 10
Según el fabricante, el 65 % de las lámparas de un lote dura más de dos años. De 130 lámparas probadas, 83 superaron los dos años. Se prueba H₀: p = 0,65 contra una alternativa bilateral, al 5 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
  Ver la respuesta
  -0,2758tolerancia ±0,02
  p̂ = 83 / 130 = 0,6385. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,6385 − 0,65) / √(0,65 × 0,35 / 130) = -0,0115 / 0,0418 = -0,2758.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,7827tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 0,28. 2 × P(Z > 0,28) = 0,7827.
  Si te dio otro número
  0,3913 — Es una sola cola. La alternativa es bilateral: el valor p suma las dos.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  0
  El valor p es 0,7827, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que el 65 % de las lámparas dure más de dos años; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 11
Un ministerio informa que el 25 % de los chicos de 6 años tiene el calendario de vacunas completo. En una muestra de 260 chicos, 42 lo tienen. Se prueba H₀: p = 0,25 contra una alternativa bilateral, al 1 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
  Ver la respuesta
  -3,2941tolerancia ±0,02
  p̂ = 42 / 260 = 0,1615. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,1615 − 0,25) / √(0,25 × 0,75 / 260) = -0,0885 / 0,0269 = -3,2941.
  Si te dio otro número
  -3,8758 — Se usó p̂ en el error estándar. Eso es lo del intervalo de confianza; en la prueba se supone cierta la nula, y va p₀.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,001tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 3,29. 2 × P(Z > 3,29) = 0,0010.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 1 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0010, que es menor que 0,01: se rechaza. Los datos son incompatibles con que el 25 % tenga el calendario completo.
Ejercicio 12
Históricamente, el 20 % de los ingresantes de una facultad aprueba Matemática en el primer intento. Con un curso nuevo, de 290 ingresantes aprobaron 61. Se prueba H₀: p = 0,20 contra una alternativa bilateral, al 10 %.
En el denominador va p₀, no p̂: la prueba calcula qué tan raro sería lo observado si la nula fuera cierta.
1. a) ¿Cuánto vale el estadístico z?
  Ver la respuesta
  0,4404tolerancia ±0,02
  p̂ = 61 / 290 = 0,2103. z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n) = (0,2103 − 0,20) / √(0,20 × 0,80 / 290) = 0,0103 / 0,0235 = 0,4404.
2. b) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,6596tolerancia ±0,005
  Bilateral: las dos colas más allá de |z| = 0,44. 2 × P(Z > 0,44) = 0,6596.
  Si te dio otro número
  0,3298 — Es una sola cola. La alternativa es bilateral: el valor p suma las dos.
3. c) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 10 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  0
  El valor p es 0,6596, que no es menor que 0,10: no se rechaza. Eso no prueba que la aprobación siga en el 20 %; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.