Intervalo de confianza para la varianza

Con la chi-cuadrado: qué cuantil va en cada límite y por qué el intervalo sube más de lo que baja. Y el pasaje de la varianza al desvío.

12 ejercicios · 48 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
Para controlar el peso de los paquetes de yerba de un kilo que salen de una envasadora se midieron 22 unidades. El desvío estándar muestral dio 8,2 gramos. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 95 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  67,24tolerancia ±0,3362
  s² = 8,2² = 67,24 gramos al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  39,7995tolerancia ±0,199
  Con 21 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 2,5 % a la derecha en 35,479. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 21 × 67,24 / 35,479 = 39,799.
  Si te dio otro número
  137,3193 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  41,6947 — Se multiplicó por n = 22 en lugar de por n − 1 = 21.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  137,3193tolerancia ±0,6866
  Con el cuantil que deja 2,5 % a la izquierda, 10,283: 21 × 67,24 / 10,283 = 137,319. Desde s² = 67,24, el intervalo sube 70,079 y baja solo 27,441.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en gramos?
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  11,7183tolerancia ±0,0586
  Se saca la raíz de los límites: √137,319 = 11,72 gramos. El intervalo para σ va de 6,31 a 11,72.
  Si te dio otro número
  137,3193 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 2
Para controlar la duración de un ciclo de lavado industrial se midieron 10 unidades. El desvío estándar muestral dio 18,4 segundos. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 90 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  338,56tolerancia ±1,6928
  s² = 18,4² = 338,56 segundos al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  180,096tolerancia ±0,9005
  Con 9 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 5,0 % a la derecha en 16,919. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 9 × 338,56 / 16,919 = 180,096.
  Si te dio otro número
  916,3719 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  200,1067 — Se multiplicó por n = 10 en lugar de por n − 1 = 9.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  916,3719tolerancia ±4,5819
  Con el cuantil que deja 5,0 % a la izquierda, 3,325: 9 × 338,56 / 3,325 = 916,372. Desde s² = 338,56, el intervalo sube 577,812 y baja solo 158,464.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en segundos?
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  30,2716tolerancia ±0,1514
  Se saca la raíz de los límites: √916,372 = 30,27 segundos. El intervalo para σ va de 13,42 a 30,27.
  Si te dio otro número
  916,3719 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 3
Para controlar el diámetro de los tornillos de una partida se midieron 19 unidades. El desvío estándar muestral dio 0,060 milímetros. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 95 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  0,0036tolerancia ±0
  s² = 0,060² = 0,003600 milímetros al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  0,0021tolerancia ±0
  Con 18 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 2,5 % a la derecha en 31,526. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 18 × 0,003600 / 31,526 = 0,0020554.
  Si te dio otro número
  0,0079 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  0,0022 — Se multiplicó por n = 19 en lugar de por n − 1 = 18.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  0,0079tolerancia ±0
  Con el cuantil que deja 2,5 % a la izquierda, 8,231: 18 × 0,003600 / 8,231 = 0,0078729. Desde s² = 0,003600, el intervalo sube 0,0042729 y baja solo 0,0015446.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en milímetros?
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  0,0887tolerancia ±0,0004
  Se saca la raíz de los límites: √0,0078729 = 0,0887 milímetros. El intervalo para σ va de 0,0453 a 0,0887.
  Si te dio otro número
  0,0079 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 4
Para controlar la temperatura de una cámara de frío, medida a distintas horas se midieron 13 unidades. El desvío estándar muestral dio 0,59 °C. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 90 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  0,3481tolerancia ±0,0017
  s² = 0,59² = 0,3481 °C al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  0,1987tolerancia ±0,001
  Con 12 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 5,0 % a la derecha en 21,026. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 12 × 0,3481 / 21,026 = 0,19867.
  Si te dio otro número
  0,7993 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  0,2152 — Se multiplicó por n = 13 en lugar de por n − 1 = 12.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  0,7993tolerancia ±0,004
  Con el cuantil que deja 5,0 % a la izquierda, 5,226: 12 × 0,3481 / 5,226 = 0,79931. Desde s² = 0,3481, el intervalo sube 0,45121 y baja solo 0,14943.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en °C?
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  0,894tolerancia ±0,0045
  Se saca la raíz de los límites: √0,79931 = 0,894 °C. El intervalo para σ va de 0,446 a 0,894.
  Si te dio otro número
  0,7993 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 5
Para controlar el peso de los paquetes de yerba de un kilo que salen de una envasadora se midieron 20 unidades. El desvío estándar muestral dio 6,6 gramos. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 95 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  43,56tolerancia ±0,2178
  s² = 6,6² = 43,56 gramos al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  25,1927tolerancia ±0,126
  Con 19 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 2,5 % a la derecha en 32,852. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 19 × 43,56 / 32,852 = 25,193.
  Si te dio otro número
  92,9252 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  26,5187 — Se multiplicó por n = 20 en lugar de por n − 1 = 19.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  92,9252tolerancia ±0,4646
  Con el cuantil que deja 2,5 % a la izquierda, 8,907: 19 × 43,56 / 8,907 = 92,925. Desde s² = 43,56, el intervalo sube 49,365 y baja solo 18,367.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en gramos?
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  9,6398tolerancia ±0,0482
  Se saca la raíz de los límites: √92,925 = 9,64 gramos. El intervalo para σ va de 5,02 a 9,64.
  Si te dio otro número
  92,9252 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 6
Para controlar la duración de un ciclo de lavado industrial se midieron 22 unidades. El desvío estándar muestral dio 17,3 segundos. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 90 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  299,29tolerancia ±1,4965
  s² = 17,3² = 299,29 segundos al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  192,3777tolerancia ±0,9619
  Con 21 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 5,0 % a la derecha en 32,671. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 21 × 299,29 / 32,671 = 192,378.
  Si te dio otro número
  542,2245 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  201,5386 — Se multiplicó por n = 22 en lugar de por n − 1 = 21.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  542,2245tolerancia ±2,7111
  Con el cuantil que deja 5,0 % a la izquierda, 11,591: 21 × 299,29 / 11,591 = 542,225. Desde s² = 299,29, el intervalo sube 242,935 y baja solo 106,912.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en segundos?
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  23,2857tolerancia ±0,1164
  Se saca la raíz de los límites: √542,225 = 23,29 segundos. El intervalo para σ va de 13,87 a 23,29.
  Si te dio otro número
  542,2245 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 7
Para controlar el diámetro de los tornillos de una partida se midieron 25 unidades. El desvío estándar muestral dio 0,058 milímetros. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 95 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  0,0034tolerancia ±0
  s² = 0,058² = 0,003364 milímetros al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  0,0021tolerancia ±0
  Con 24 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 2,5 % a la derecha en 39,364. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 24 × 0,003364 / 39,364 = 0,0020510.
  Si te dio otro número
  0,0065 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  0,0021 — Se multiplicó por n = 25 en lugar de por n − 1 = 24.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  0,0065tolerancia ±0
  Con el cuantil que deja 2,5 % a la izquierda, 12,401: 24 × 0,003364 / 12,401 = 0,0065104. Desde s² = 0,003364, el intervalo sube 0,0031464 y baja solo 0,0013130.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en milímetros?
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  0,0807tolerancia ±0,0004
  Se saca la raíz de los límites: √0,0065104 = 0,0807 milímetros. El intervalo para σ va de 0,0453 a 0,0807.
  Si te dio otro número
  0,0065 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 8
Para controlar la temperatura de una cámara de frío, medida a distintas horas se midieron 15 unidades. El desvío estándar muestral dio 0,65 °C. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 90 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  0,4225tolerancia ±0,0021
  s² = 0,65² = 0,4225 °C al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  0,2497tolerancia ±0,0012
  Con 14 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 5,0 % a la derecha en 23,685. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 14 × 0,4225 / 23,685 = 0,24974.
  Si te dio otro número
  0,9002 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  0,2676 — Se multiplicó por n = 15 en lugar de por n − 1 = 14.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  0,9002tolerancia ±0,0045
  Con el cuantil que deja 5,0 % a la izquierda, 6,571: 14 × 0,4225 / 6,571 = 0,90022. Desde s² = 0,4225, el intervalo sube 0,47772 y baja solo 0,17276.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en °C?
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  0,9488tolerancia ±0,0047
  Se saca la raíz de los límites: √0,90022 = 0,949 °C. El intervalo para σ va de 0,500 a 0,949.
  Si te dio otro número
  0,9002 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 9
Para controlar el peso de los paquetes de yerba de un kilo que salen de una envasadora se midieron 18 unidades. El desvío estándar muestral dio 9,2 gramos. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 95 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  84,64tolerancia ±0,4232
  s² = 9,2² = 84,64 gramos al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  47,6592tolerancia ±0,2383
  Con 17 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 2,5 % a la derecha en 30,191. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 17 × 84,64 / 30,191 = 47,659.
  Si te dio otro número
  190,2227 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  50,4627 — Se multiplicó por n = 18 en lugar de por n − 1 = 17.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
  Ver la respuesta
  190,2227tolerancia ±0,9511
  Con el cuantil que deja 2,5 % a la izquierda, 7,564: 17 × 84,64 / 7,564 = 190,223. Desde s² = 84,64, el intervalo sube 105,583 y baja solo 36,981.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en gramos?
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  13,7921tolerancia ±0,069
  Se saca la raíz de los límites: √190,223 = 13,79 gramos. El intervalo para σ va de 6,90 a 13,79.
  Si te dio otro número
  190,2227 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 10
Para controlar la duración de un ciclo de lavado industrial se midieron 26 unidades. El desvío estándar muestral dio 13,9 segundos. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 90 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
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  193,21tolerancia ±0,9661
  s² = 13,9² = 193,21 segundos al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
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  128,285tolerancia ±0,6414
  Con 25 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 5,0 % a la derecha en 37,652. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 25 × 193,21 / 37,652 = 128,285.
  Si te dio otro número
  330,5807 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  133,4164 — Se multiplicó por n = 26 en lugar de por n − 1 = 25.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
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  330,5807tolerancia ±1,6529
  Con el cuantil que deja 5,0 % a la izquierda, 14,611: 25 × 193,21 / 14,611 = 330,581. Desde s² = 193,21, el intervalo sube 137,371 y baja solo 64,925.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en segundos?
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  18,1819tolerancia ±0,0909
  Se saca la raíz de los límites: √330,581 = 18,18 segundos. El intervalo para σ va de 11,33 a 18,18.
  Si te dio otro número
  330,5807 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 11
Para controlar el diámetro de los tornillos de una partida se midieron 26 unidades. El desvío estándar muestral dio 0,058 milímetros. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 95 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
  Ver la respuesta
  0,0034tolerancia ±0
  s² = 0,058² = 0,003364 milímetros al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
  Ver la respuesta
  0,0021tolerancia ±0
  Con 25 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 2,5 % a la derecha en 40,646. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 25 × 0,003364 / 40,646 = 0,0020691.
  Si te dio otro número
  0,0064 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  0,0022 — Se multiplicó por n = 26 en lugar de por n − 1 = 25.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
  Ver la respuesta
  0,0064tolerancia ±0
  Con el cuantil que deja 2,5 % a la izquierda, 13,120: 25 × 0,003364 / 13,120 = 0,0064102. Desde s² = 0,003364, el intervalo sube 0,0030462 y baja solo 0,0012949.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en milímetros?
  Ver la respuesta
  0,0801tolerancia ±0,0004
  Se saca la raíz de los límites: √0,0064102 = 0,0801 milímetros. El intervalo para σ va de 0,0455 a 0,0801.
  Si te dio otro número
  0,0064 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.
Ejercicio 12
Para controlar la temperatura de una cámara de frío, medida a distintas horas se midieron 12 unidades. El desvío estándar muestral dio 0,84 °C. Se supone que la variable es normal y se quiere un intervalo del 90 %.
(n − 1) s² / σ² sigue una chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Como la chi-cuadrado es asimétrica, el intervalo también: se estira más hacia arriba que hacia abajo.
1. a) ¿Cuál es la varianza muestral?
  Ver la respuesta
  0,7056tolerancia ±0,0035
  s² = 0,84² = 0,7056 °C al cuadrado.
2. b) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo para σ²?
  Ver la respuesta
  0,3945tolerancia ±0,002
  Con 11 grados de libertad, la chi-cuadrado deja 5,0 % a la derecha en 19,675. El límite inferior va con ese valor, el más grande: 11 × 0,7056 / 19,675 = 0,39449.
  Si te dio otro número
  1,6966 — Se dividió por el cuantil chico. Ese da el límite superior: dividir por un número más chico da un resultado más grande.
  0,4304 — Se multiplicó por n = 12 en lugar de por n − 1 = 11.
3. c) ¿Y el límite superior para σ²?
  Ver la respuesta
  1,6966tolerancia ±0,0085
  Con el cuantil que deja 5,0 % a la izquierda, 4,575: 11 × 0,7056 / 4,575 = 1,69659. Desde s² = 0,7056, el intervalo sube 0,99099 y baja solo 0,31111.
4. d) ¿Cuál es el límite superior del intervalo para el desvío σ, en °C?
  Ver la respuesta
  1,3025tolerancia ±0,0065
  Se saca la raíz de los límites: √1,69659 = 1,303 °C. El intervalo para σ va de 0,628 a 1,303.
  Si te dio otro número
  1,6966 — Es el límite para la varianza, en unidades al cuadrado. Para el desvío hay que sacarle la raíz.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.