Intervalo para la diferencia de medias

Welch paso a paso: el error estándar, los grados de libertad de Satterthwaite y los dos límites. La mitad de los intervalos incluye al cero y la otra mitad no.

12 ejercicios · 60 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
Se compara el tiempo de espera (en minutos) entre la guardia A y la guardia B. En la guardia A: n = 24, media 44,0 y desvío 4,5. En la guardia B: n = 25, media 26,0 y desvío 10,1. Se quiere un intervalo del 95 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (la guardia A menos la guardia B)?
  Ver la respuesta
  18tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 44,0 − 26,0 = 18,0. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
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  2,219tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(0,8438 + 4,0804) = 2,2190.
  Si te dio otro número
  2,9386 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
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  33,4588tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 0,8438 y v₂ = 4,0804: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 23 + v₂² / 24) = 33,46.
  Si te dio otro número
  47 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
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  13,4877tolerancia ±0,0444
  El t con 33,46 grados de libertad para el 95 % es 2,0335, y el margen, 2,0335 × 2,2190 = 4,5123. El límite inferior es 18,0 − 4,5123 = 13,4877.
  Si te dio otro número
  13,6507 — Se usó el z de la normal, 1,96. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  22,5123tolerancia ±0,0444
  18,0 + 4,5123 = 22,5123. El intervalo no incluye al cero: la diferencia a favor de la guardia A es compatible con valores de 13,5 a 22,5.
Ejercicio 2
Se compara el rendimiento de trigo (en quintales por hectárea) entre los lotes fertilizados y los lotes sin fertilizar. En los lotes fertilizados: n = 19, media 39,0 y desvío 2,3. En los lotes sin fertilizar: n = 13, media 37,0 y desvío 5,7. Se quiere un intervalo del 90 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (los lotes fertilizados menos los lotes sin fertilizar)?
  Ver la respuesta
  2tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 39,0 − 37,0 = 2,0. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
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  1,6666tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(0,2784 + 2,4992) = 1,6666.
  Si te dio otro número
  2,1086 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  14,701tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 0,2784 y v₂ = 2,4992: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 18 + v₂² / 12) = 14,70.
  Si te dio otro número
  30 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  -0,9256tolerancia ±0,0333
  El t con 14,70 grados de libertad para el 90 % es 1,7554, y el margen, 1,7554 × 1,6666 = 2,9256. El límite inferior es 2,0 − 2,9256 = -0,9256.
  Si te dio otro número
  -0,7416 — Se usó el z de la normal, 1,645. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  4,9256tolerancia ±0,0333
  2,0 + 2,9256 = 4,9256. El intervalo incluye al cero: con estos datos no se puede descartar que las dos medias sean iguales.
Ejercicio 3
Se compara el gasto semanal en transporte (en miles de pesos) entre la zona norte y la zona sur. En la zona norte: n = 12, media 24,2 y desvío 4,2. En la zona sur: n = 34, media 19,8 y desvío 8,7. Se quiere un intervalo del 95 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (la zona norte menos la zona sur)?
  Ver la respuesta
  4,4tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 24,2 − 19,8 = 4,4. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  1,9225tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(1,4700 + 2,2262) = 1,9225.
  Si te dio otro número
  2,7045 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  39,4138tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 1,4700 y v₂ = 2,2262: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 11 + v₂² / 33) = 39,41.
  Si te dio otro número
  44 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  0,5126tolerancia ±0,0385
  El t con 39,41 grados de libertad para el 95 % es 2,0220, y el margen, 2,0220 × 1,9225 = 3,8874. El límite inferior es 4,4 − 3,8874 = 0,5126.
  Si te dio otro número
  0,6318 — Se usó el z de la normal, 1,96. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  8,2874tolerancia ±0,0385
  4,4 + 3,8874 = 8,2874. El intervalo no incluye al cero: la diferencia a favor de la zona norte es compatible con valores de 0,5 a 8,3.
Ejercicio 4
Se compara el puntaje en una prueba de comprensión lectora entre el turno mañana y el turno tarde. En el turno mañana: n = 28, media 65,0 y desvío 7,4. En el turno tarde: n = 10, media 63,0 y desvío 14,8. Se quiere un intervalo del 99 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (el turno mañana menos el turno tarde)?
  Ver la respuesta
  2tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 65,0 − 63,0 = 2,0. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  4,8846tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(1,9557 + 21,9040) = 4,8846.
  Si te dio otro número
  6,0786 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  10,6506tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 1,9557 y v₂ = 21,9040: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 27 + v₂² / 9) = 10,65.
  Si te dio otro número
  36 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
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  -13,2713tolerancia ±0,3142
  El t con 10,65 grados de libertad para el 99 % es 3,1264, y el margen, 3,1264 × 4,8846 = 15,2713. El límite inferior es 2,0 − 15,2713 = -13,2713.
  Si te dio otro número
  -10,5828 — Se usó el z de la normal, 2,576. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  17,2713tolerancia ±0,3142
  2,0 + 15,2713 = 17,2713. El intervalo incluye al cero: con estos datos no se puede descartar que las dos medias sean iguales.
Ejercicio 5
Se compara el tiempo de espera (en minutos) entre la guardia A y la guardia B. En la guardia A: n = 29, media 41,2 y desvío 5,3. En la guardia B: n = 24, media 28,8 y desvío 12,5. Se quiere un intervalo del 95 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (la guardia A menos la guardia B)?
  Ver la respuesta
  12,4tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 41,2 − 28,8 = 12,4. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  2,7348tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(0,9686 + 6,5104) = 2,7348.
  Si te dio otro número
  3,5357 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  29,811tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 0,9686 y v₂ = 6,5104: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 28 + v₂² / 23) = 29,81.
  Si te dio otro número
  51 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  6,8133tolerancia ±0,0547
  El t con 29,81 grados de libertad para el 95 % es 2,0428, y el margen, 2,0428 × 2,7348 = 5,5867. El límite inferior es 12,4 − 5,5867 = 6,8133.
  Si te dio otro número
  7,0398 — Se usó el z de la normal, 1,96. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  17,9867tolerancia ±0,0547
  12,4 + 5,5867 = 17,9867. El intervalo no incluye al cero: la diferencia a favor de la guardia A es compatible con valores de 6,8 a 18,0.
Ejercicio 6
Se compara el rendimiento de trigo (en quintales por hectárea) entre los lotes fertilizados y los lotes sin fertilizar. En los lotes fertilizados: n = 40, media 38,7 y desvío 2,8. En los lotes sin fertilizar: n = 15, media 37,3 y desvío 5,8. Se quiere un intervalo del 90 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (los lotes fertilizados menos los lotes sin fertilizar)?
  Ver la respuesta
  1,4tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 38,7 − 37,3 = 1,4. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  1,5616tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(0,1960 + 2,2427) = 1,5616.
  Si te dio otro número
  1,9403 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  16,5088tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 0,1960 y v₂ = 2,2427: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 39 + v₂² / 14) = 16,51.
  Si te dio otro número
  53 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  -1,3213tolerancia ±0,0312
  El t con 16,51 grados de libertad para el 90 % es 1,7426, y el margen, 1,7426 × 1,5616 = 2,7213. El límite inferior es 1,4 − 2,7213 = -1,3213.
  Si te dio otro número
  -1,1689 — Se usó el z de la normal, 1,645. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  4,1213tolerancia ±0,0312
  1,4 + 2,7213 = 4,1213. El intervalo incluye al cero: con estos datos no se puede descartar que las dos medias sean iguales.
Ejercicio 7
Se compara el gasto semanal en transporte (en miles de pesos) entre la zona norte y la zona sur. En la zona norte: n = 10, media 26,5 y desvío 5,3. En la zona sur: n = 36, media 17,5 y desvío 8,3. Se quiere un intervalo del 95 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (la zona norte menos la zona sur)?
  Ver la respuesta
  9tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 26,5 − 17,5 = 9,0. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  2,1732tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(2,8090 + 1,9136) = 2,1732.
  Si te dio otro número
  3,0593 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  22,727tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 2,8090 y v₂ = 1,9136: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 9 + v₂² / 35) = 22,73.
  Si te dio otro número
  44 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  4,5015tolerancia ±0,0435
  El t con 22,73 grados de libertad para el 95 % es 2,0700, y el margen, 2,0700 × 2,1732 = 4,4985. El límite inferior es 9,0 − 4,4985 = 4,5015.
  Si te dio otro número
  4,7406 — Se usó el z de la normal, 1,96. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  13,4985tolerancia ±0,0435
  9,0 + 4,4985 = 13,4985. El intervalo no incluye al cero: la diferencia a favor de la zona norte es compatible con valores de 4,5 a 13,5.
Ejercicio 8
Se compara el puntaje en una prueba de comprensión lectora entre el turno mañana y el turno tarde. En el turno mañana: n = 33, media 65,4 y desvío 12,4. En el turno tarde: n = 32, media 62,6 y desvío 5,5. Se quiere un intervalo del 99 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (el turno mañana menos el turno tarde)?
  Ver la respuesta
  2,8tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 65,4 − 62,6 = 2,8. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  2,3674tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(4,6594 + 0,9453) = 2,3674.
  Si te dio otro número
  3,1308 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  44,4145tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 4,6594 y v₂ = 0,9453: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 32 + v₂² / 31) = 44,41.
  Si te dio otro número
  63 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  -3,5711tolerancia ±0,0473
  El t con 44,41 grados de libertad para el 99 % es 2,6911, y el margen, 2,6911 × 2,3674 = 6,3711. El límite inferior es 2,8 − 6,3711 = -3,5711.
  Si te dio otro número
  -3,2985 — Se usó el z de la normal, 2,576. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  9,1711tolerancia ±0,0473
  2,8 + 6,3711 = 9,1711. El intervalo incluye al cero: con estos datos no se puede descartar que las dos medias sean iguales.
Ejercicio 9
Se compara el tiempo de espera (en minutos) entre la guardia A y la guardia B. En la guardia A: n = 27, media 38,6 y desvío 12,9. En la guardia B: n = 19, media 31,4 y desvío 6,4. Se quiere un intervalo del 95 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (la guardia A menos la guardia B)?
  Ver la respuesta
  7,2tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 38,6 − 31,4 = 7,2. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  2,8843tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(6,1633 + 2,1558) = 2,8843.
  Si te dio otro número
  3,9509 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  40,2554tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 6,1633 y v₂ = 2,1558: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 26 + v₂² / 18) = 40,26.
  Si te dio otro número
  44 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  1,3718tolerancia ±0,0577
  El t con 40,26 grados de libertad para el 95 % es 2,0207, y el margen, 2,0207 × 2,8843 = 5,8282. El límite inferior es 7,2 − 5,8282 = 1,3718.
  Si te dio otro número
  1,5468 — Se usó el z de la normal, 1,96. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  13,0282tolerancia ±0,0577
  7,2 + 5,8282 = 13,0282. El intervalo no incluye al cero: la diferencia a favor de la guardia A es compatible con valores de 1,4 a 13,0.
Ejercicio 10
Se compara el rendimiento de trigo (en quintales por hectárea) entre los lotes fertilizados y los lotes sin fertilizar. En los lotes fertilizados: n = 39, media 38,3 y desvío 3,3. En los lotes sin fertilizar: n = 21, media 37,7 y desvío 5,0. Se quiere un intervalo del 90 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (los lotes fertilizados menos los lotes sin fertilizar)?
  Ver la respuesta
  0,6tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 38,3 − 37,7 = 0,6. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  1,2123tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(0,2792 + 1,1905) = 1,2123.
  Si te dio otro número
  1,6195 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  29,6247tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 0,2792 y v₂ = 1,1905: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 38 + v₂² / 20) = 29,62.
  Si te dio otro número
  58 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  -1,4584tolerancia ±0,0242
  El t con 29,62 grados de libertad para el 90 % es 1,6979, y el margen, 1,6979 × 1,2123 = 2,0584. El límite inferior es 0,6 − 2,0584 = -1,4584.
  Si te dio otro número
  -1,3943 — Se usó el z de la normal, 1,645. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  2,6584tolerancia ±0,0242
  0,6 + 2,0584 = 2,6584. El intervalo incluye al cero: con estos datos no se puede descartar que las dos medias sean iguales.
Ejercicio 11
Se compara el gasto semanal en transporte (en miles de pesos) entre la zona norte y la zona sur. En la zona norte: n = 37, media 24,8 y desvío 6,8. En la zona sur: n = 26, media 19,2 y desvío 3,3. Se quiere un intervalo del 95 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (la zona norte menos la zona sur)?
  Ver la respuesta
  5,6tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 24,8 − 19,2 = 5,6. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  1,2917tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(1,2497 + 0,4188) = 1,2917.
  Si te dio otro número
  1,7651 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  55,2396tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 1,2497 y v₂ = 0,4188: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 36 + v₂² / 25) = 55,24.
  Si te dio otro número
  61 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  3,0116tolerancia ±0,0258
  El t con 55,24 grados de libertad para el 95 % es 2,0038, y el margen, 2,0038 × 1,2917 = 2,5884. El límite inferior es 5,6 − 2,5884 = 3,0116.
  Si te dio otro número
  3,0682 — Se usó el z de la normal, 1,96. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  8,1884tolerancia ±0,0258
  5,6 + 2,5884 = 8,1884. El intervalo no incluye al cero: la diferencia a favor de la zona norte es compatible con valores de 3,0 a 8,2.
Ejercicio 12
Se compara el puntaje en una prueba de comprensión lectora entre el turno mañana y el turno tarde. En el turno mañana: n = 36, media 65,8 y desvío 7,2. En el turno tarde: n = 30, media 62,2 y desvío 12,6. Se quiere un intervalo del 99 % para la diferencia, sin suponer varianzas iguales.
Es el intervalo de Welch, el que R usa por defecto. Los grados de libertad salen de la fórmula de Satterthwaite y casi nunca son enteros.
1. a) ¿Cuál es la diferencia de medias (el turno mañana menos el turno tarde)?
  Ver la respuesta
  3,6tolerancia ±0,01
  x̄₁ − x̄₂ = 65,8 − 62,2 = 3,6. Es la estimación puntual: el intervalo se arma alrededor de ella.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la diferencia?
  Ver la respuesta
  2,5946tolerancia ±0,01
  √(s₁² / n₁ + s₂² / n₂) = √(1,4400 + 5,2920) = 2,5946.
  Si te dio otro número
  3,5004 — Se sumaron los dos errores estándar. Lo que se suma son las varianzas; después se saca la raíz.
3. c) ¿Cuántos grados de libertad tiene, por Welch?
  Ver la respuesta
  44,2169tolerancia ±0,1
  Con v₁ = 1,4400 y v₂ = 5,2920: gl = (v₁ + v₂)² / (v₁² / 35 + v₂² / 29) = 44,22.
  Si te dio otro número
  64 — n₁ + n₂ − 2 son los grados de libertad de la versión con varianzas iguales. Acá los desvíos son bastante distintos, y Welch da menos.
4. d) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo?
  Ver la respuesta
  -3,3839tolerancia ±0,0519
  El t con 44,22 grados de libertad para el 99 % es 2,6917, y el margen, 2,6917 × 2,5946 = 6,9839. El límite inferior es 3,6 − 6,9839 = -3,3839.
  Si te dio otro número
  -3,0837 — Se usó el z de la normal, 2,576. Con muestras de este tamaño corresponde el t, que es más grande.
5. e) ¿Y el límite superior?
  Ver la respuesta
  10,5839tolerancia ±0,0519
  3,6 + 6,9839 = 10,5839. El intervalo incluye al cero: con estos datos no se puede descartar que las dos medias sean iguales.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.