Prueba de Friedman

Rangos dentro de cada persona: las sumas, χ²_F, el valor p y la W de Kendall. Con el error de ordenar todos los datos juntos.

12 ejercicios · 60 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
7 catadores puntuaron tres marcas de café. Cada renglón es una persona, con los valores de Marca A, Marca B y Marca C en ese orden: 1: 7, 5, 10 · 2: 16, 17, 18 · 3: 18, 14, 19 · 4: 14, 13, 18 · 5: 8, 5, 6 · 6: 15, 14, 19 · 7: 10, 11, 14. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Marca B?
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  9
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Marca A: 13, Marca B: 9, Marca C: 20. Control: suman n × 6 = 42.
  Si te dio otro número
  59 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
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  8,8571tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (7 × 3 × 4) × 650 − 3 × 7 × 4 = 8,8571.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0119tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 8,8571 es 0,0119.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
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  0,6327tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 8,8571 / (7 × 2) = 0,6327. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  1
  El valor p es 0,0119, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que las tres condiciones reciban rangos parecidos.
Ejercicio 2
6 pacientes calificaron su dolor con tres analgésicos, en semanas distintas. Cada renglón es una persona, con los valores de Analgésico 1, Analgésico 2 y Analgésico 3 en ese orden: 1: 12, 14, 7 · 2: 13, 11, 12 · 3: 14, 16, 15 · 4: 2, 5, 0 · 5: 2, 6, 4 · 6: 12, 14, 10. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Analgésico 2?
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  16
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Analgésico 1: 11, Analgésico 2: 16, Analgésico 3: 9. Control: suman n × 6 = 36.
  Si te dio otro número
  68 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
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  4,3333tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (6 × 3 × 4) × 458 − 3 × 6 × 4 = 4,3333.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,1146tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 4,3333 es 0,1146.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
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  0,3611tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 4,3333 / (6 × 2) = 0,3611. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  0
  El valor p es 0,1146, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que las tres condiciones reciban rangos parecidos; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 3
8 jueces evaluaron tres proyectos. Cada renglón es una persona, con los valores de Proyecto A, Proyecto B y Proyecto C en ese orden: 1: 10, 9, 15 · 2: 5, 4, 7 · 3: 9, 6, 7 · 4: 12, 11, 15 · 5: 15, 12, 14 · 6: 9, 8, 12 · 7: 14, 11, 15 · 8: 4, 5, 10. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Proyecto C?
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  22
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Proyecto A: 17, Proyecto B: 9, Proyecto C: 22. Control: suman n × 6 = 48.
  Si te dio otro número
  129,5 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
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  10,75tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (8 × 3 × 4) × 854 − 3 × 8 × 4 = 10,7500.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0046tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 10,7500 es 0,0046.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
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  0,6719tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 10,7500 / (8 × 2) = 0,6719. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  1
  El valor p es 0,0046, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que las tres condiciones reciban rangos parecidos.
Ejercicio 4
7 estudiantes resolvieron tres tipos de ejercicios, con el tiempo en minutos. Cada renglón es una persona, con los valores de Tipo 1, Tipo 2 y Tipo 3 en ese orden: 1: 5, 4, 1 · 2: 15, 14, 13 · 3: 9, 7, 6 · 4: 8, 9, 6 · 5: 15, 14, 16 · 6: 6, 10, 7 · 7: 13, 9, 11. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Tipo 1?
  Ver la respuesta
  17
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Tipo 1: 17, Tipo 2: 14, Tipo 3: 11. Control: suman n × 6 = 42.
  Si te dio otro número
  82,5 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
  Ver la respuesta
  2,5714tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (7 × 3 × 4) × 606 − 3 × 7 × 4 = 2,5714.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,2765tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 2,5714 es 0,2765.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
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  0,1837tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 2,5714 / (7 × 2) = 0,1837. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  0
  El valor p es 0,2765, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que las tres condiciones reciban rangos parecidos; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 5
9 catadores puntuaron tres marcas de café. Cada renglón es una persona, con los valores de Marca A, Marca B y Marca C en ese orden: 1: 7, 5, 10 · 2: 15, 12, 9 · 3: 7, 5, 9 · 4: 10, 5, 9 · 5: 12, 10, 13 · 6: 9, 7, 10 · 7: 5, 1, 6 · 8: 15, 10, 13 · 9: 7, 5, 11. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Marca A?
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  21
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Marca A: 21, Marca B: 10, Marca C: 23. Control: suman n × 6 = 54.
  Si te dio otro número
  139,5 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
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  10,8889tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (9 × 3 × 4) × 1.070 − 3 × 9 × 4 = 10,8889.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0043tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 10,8889 es 0,0043.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
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  0,6049tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 10,8889 / (9 × 2) = 0,6049. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0043, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que las tres condiciones reciban rangos parecidos.
Ejercicio 6
7 pacientes calificaron su dolor con tres analgésicos, en semanas distintas. Cada renglón es una persona, con los valores de Analgésico 1, Analgésico 2 y Analgésico 3 en ese orden: 1: 10, 5, 7 · 2: 11, 10, 7 · 3: 8, 7, 9 · 4: 6, 8, 3 · 5: 13, 11, 12 · 6: 2, 3, 5 · 7: 17, 13, 12. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Analgésico 1?
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  17
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Analgésico 1: 17, Analgésico 2: 12, Analgésico 3: 13. Control: suman n × 6 = 42.
  Si te dio otro número
  87 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
  Ver la respuesta
  2tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (7 × 3 × 4) × 602 − 3 × 7 × 4 = 2,0000.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,3679tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 2,0000 es 0,3679.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
  Ver la respuesta
  0,1429tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 2,0000 / (7 × 2) = 0,1429. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  0
  El valor p es 0,3679, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que las tres condiciones reciban rangos parecidos; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 7
9 jueces evaluaron tres proyectos. Cada renglón es una persona, con los valores de Proyecto A, Proyecto B y Proyecto C en ese orden: 1: 16, 12, 15 · 2: 14, 15, 17 · 3: 7, 5, 9 · 4: 14, 10, 18 · 5: 14, 16, 18 · 6: 7, 5, 10 · 7: 12, 10, 14 · 8: 14, 12, 17 · 9: 13, 10, 12. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Proyecto B?
  Ver la respuesta
  11
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Proyecto A: 18, Proyecto B: 11, Proyecto C: 25. Control: suman n × 6 = 54.
  Si te dio otro número
  91,5 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
  Ver la respuesta
  10,8889tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (9 × 3 × 4) × 1.070 − 3 × 9 × 4 = 10,8889.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0043tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 10,8889 es 0,0043.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
  Ver la respuesta
  0,6049tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 10,8889 / (9 × 2) = 0,6049. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0043, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que las tres condiciones reciban rangos parecidos.
Ejercicio 8
7 estudiantes resolvieron tres tipos de ejercicios, con el tiempo en minutos. Cada renglón es una persona, con los valores de Tipo 1, Tipo 2 y Tipo 3 en ese orden: 1: 11, 10, 7 · 2: 12, 14, 15 · 3: 11, 9, 12 · 4: 8, 11, 12 · 5: 5, 11, 6 · 6: 12, 11, 7 · 7: 5, 7, 3. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Tipo 2?
  Ver la respuesta
  15
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Tipo 1: 13, Tipo 2: 15, Tipo 3: 14. Control: suman n × 6 = 42.
  Si te dio otro número
  84 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
  Ver la respuesta
  0,2857tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (7 × 3 × 4) × 590 − 3 × 7 × 4 = 0,2857.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,8669tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 0,2857 es 0,8669.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
  Ver la respuesta
  0,0204tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 0,2857 / (7 × 2) = 0,0204. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  0
  El valor p es 0,8669, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que las tres condiciones reciban rangos parecidos; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 9
6 catadores puntuaron tres marcas de café. Cada renglón es una persona, con los valores de Marca A, Marca B y Marca C en ese orden: 1: 14, 12, 13 · 2: 14, 13, 11 · 3: 12, 15, 11 · 4: 7, 5, 4 · 5: 5, 4, 2 · 6: 6, 8, 5. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Marca C?
  Ver la respuesta
  7
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Marca A: 16, Marca B: 13, Marca C: 7. Control: suman n × 6 = 36.
  Si te dio otro número
  44 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
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  7tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (6 × 3 × 4) × 474 − 3 × 6 × 4 = 7,0000.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,0302tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 7,0000 es 0,0302.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
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  0,5833tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 7,0000 / (6 × 2) = 0,5833. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0302, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que las tres condiciones reciban rangos parecidos.
Ejercicio 10
6 pacientes calificaron su dolor con tres analgésicos, en semanas distintas. Cada renglón es una persona, con los valores de Analgésico 1, Analgésico 2 y Analgésico 3 en ese orden: 1: 6, 3, 8 · 2: 13, 11, 10 · 3: 15, 12, 13 · 4: 12, 8, 13 · 5: 15, 16, 19 · 6: 10, 3, 7. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Analgésico 1?
  Ver la respuesta
  14
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Analgésico 1: 14, Analgésico 2: 8, Analgésico 3: 14. Control: suman n × 6 = 36.
  Si te dio otro número
  65 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
  Ver la respuesta
  4tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (6 × 3 × 4) × 456 − 3 × 6 × 4 = 4,0000.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,1353tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 4,0000 es 0,1353.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
  Ver la respuesta
  0,3333tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 4,0000 / (6 × 2) = 0,3333. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  0
  El valor p es 0,1353, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que las tres condiciones reciban rangos parecidos; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.
Ejercicio 11
6 jueces evaluaron tres proyectos. Cada renglón es una persona, con los valores de Proyecto A, Proyecto B y Proyecto C en ese orden: 1: 8, 5, 10 · 2: 15, 11, 18 · 3: 10, 8, 9 · 4: 10, 8, 13 · 5: 5, 4, 6 · 6: 17, 14, 18. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Proyecto A?
  Ver la respuesta
  13
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Proyecto A: 13, Proyecto B: 6, Proyecto C: 17. Control: suman n × 6 = 36.
  Si te dio otro número
  59,5 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
  Ver la respuesta
  10,3333tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (6 × 3 × 4) × 494 − 3 × 6 × 4 = 10,3333.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
  Ver la respuesta
  0,0057tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 10,3333 es 0,0057.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
  Ver la respuesta
  0,8611tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 10,3333 / (6 × 2) = 0,8611. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
  Ver la respuesta
  1
  El valor p es 0,0057, que es menor que 0,05: se rechaza. Los datos son incompatibles con que las tres condiciones reciban rangos parecidos.
Ejercicio 12
8 estudiantes resolvieron tres tipos de ejercicios, con el tiempo en minutos. Cada renglón es una persona, con los valores de Tipo 1, Tipo 2 y Tipo 3 en ese orden: 1: 11, 8, 5 · 2: 4, 10, 8 · 3: 5, 9, 8 · 4: 9, 7, 5 · 5: 8, 10, 13 · 6: 12, 15, 8 · 7: 10, 14, 9 · 8: 12, 10, 8. Se prueba al 5 %.
Los rangos se asignan dentro de cada persona, de 1 a 3. Así lo que varía de una persona a otra no entra en la comparación.
1. a) ¿Cuánto suman los rangos de Tipo 2?
  Ver la respuesta
  20
  Ordenando los tres valores de cada persona, las sumas son Tipo 1: 16, Tipo 2: 20, Tipo 3: 12. Control: suman n × 6 = 48.
  Si te dio otro número
  123 — Se ordenaron todos los datos juntos, como en Kruskal-Wallis. En Friedman el rango va dentro de cada persona.
2. b) ¿Cuánto vale el estadístico χ²_F?
  Ver la respuesta
  4tolerancia ±0,02
  12 / (n k (k + 1)) × Σ Rⱼ² − 3n(k + 1) = 12 / (8 × 3 × 4) × 800 − 3 × 8 × 4 = 4,0000.
3. c) ¿Cuál es el valor p?
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  0,1353tolerancia ±0,005
  Con la chi-cuadrado de k − 1 = 2 grados de libertad: el área a la derecha de 4,0000 es 0,1353.
4. d) ¿Cuánto vale la W de Kendall?
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  0,25tolerancia ±0,002
  W = χ²_F / (n(k − 1)) = 4,0000 / (8 × 2) = 0,2500. Va de 0, sin acuerdo, a 1, cuando todas las personas ordenan igual.
5. e) ¿Se rechaza la hipótesis nula al 5 %? Respondé 1 por sí y 0 por no.
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  0
  El valor p es 0,1353, que no es menor que 0,05: no se rechaza. Eso no prueba que las tres condiciones reciban rangos parecidos; solo dice que estos datos no alcanzan para descartarlo.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.