Aproximar la binomial con la normal

Media, desvío y una probabilidad acumulada con la corrección por continuidad, comparada con la exacta: la corrección se gana su lugar en los doce ejercicios.

12 ejercicios · 48 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
El 35 % de las semillas de un lote germina. Se siembran 55 semillas.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de semillas que germinan. ¿Cuál es su media?
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  19,25tolerancia ±0,001
  n p = 55 × 0,35 = 19,25. Con n p y n (1 − p) = 35,75, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
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  3,5373tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(12,5125) = 3,5373.
  Si te dio otro número
  12,5125 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 16 o menos?
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  0,2185tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 16) ≈ P(Z ≤ (16 + 0,5 − 19,25) / 3,5373) = Φ(-0,78) = 0,2185. Se suma 0,5 porque «16 o menos» incluye entero al 16.
  Si te dio otro número
  0,1791 — Falta la corrección por continuidad: con z = (16 − 19,25) / 3,5373 se deja afuera la mitad de la barra del 16.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
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  0,2203tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 16 da 0,2203. La aproximación con corrección erró por 0,0018; sin corrección, por 0,0412.
Ejercicio 2
El 10 % de los pacientes responde a un tratamiento. Se tratan 90 pacientes.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de pacientes que responden. ¿Cuál es su media?
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  9tolerancia ±0,001
  n p = 90 × 0,10 = 9,00. Con n p y n (1 − p) = 81,00, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
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  2,8461tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(8,1000) = 2,8460.
  Si te dio otro número
  8,1 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 8 o menos?
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  0,4303tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 8) ≈ P(Z ≤ (8 + 0,5 − 9,00) / 2,8460) = Φ(-0,18) = 0,4303. Se suma 0,5 porque «8 o menos» incluye entero al 8.
  Si te dio otro número
  0,3627 — Falta la corrección por continuidad: con z = (8 − 9,00) / 2,8460 se deja afuera la mitad de la barra del 8.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
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  0,4487tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 8 da 0,4487. La aproximación con corrección erró por 0,0184; sin corrección, por 0,0860.
Ejercicio 3
El 35 % de los hogares de una ciudad tiene mascota. Se eligen al azar 110 hogares.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de hogares que tienen mascota. ¿Cuál es su media?
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  38,5tolerancia ±0,001
  n p = 110 × 0,35 = 38,50. Con n p y n (1 − p) = 71,50, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
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  5,0025tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(25,0250) = 5,0025.
  Si te dio otro número
  25,025 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 33 o menos?
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  0,1588tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 33) ≈ P(Z ≤ (33 + 0,5 − 38,50) / 5,0025) = Φ(-1,00) = 0,1588. Se suma 0,5 porque «33 o menos» incluye entero al 33.
  Si te dio otro número
  0,1358 — Falta la corrección por continuidad: con z = (33 − 38,50) / 5,0025 se deja afuera la mitad de la barra del 33.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,1588tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 33 da 0,1587. La aproximación con corrección erró por menos de 0,0001; sin corrección, por 0,0230.
Ejercicio 4
El 50 % de las piezas de una línea de producción sale defectuosa. Se revisan 55 piezas.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de piezas que salen defectuosas. ¿Cuál es su media?
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  27,5tolerancia ±0,001
  n p = 55 × 0,50 = 27,50. Con n p y n (1 − p) = 27,50, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
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  3,7081tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(13,7500) = 3,7081.
  Si te dio otro número
  13,75 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 26 o menos?
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  0,3937tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 26) ≈ P(Z ≤ (26 + 0,5 − 27,50) / 3,7081) = Φ(-0,27) = 0,3937. Se suma 0,5 porque «26 o menos» incluye entero al 26.
  Si te dio otro número
  0,3429 — Falta la corrección por continuidad: con z = (26 − 27,50) / 3,7081 se deja afuera la mitad de la barra del 26.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,3939tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 26 da 0,3939. La aproximación con corrección erró por 0,0001; sin corrección, por 0,0509.
Ejercicio 5
El 20 % de las semillas de un lote germina. Se siembran 80 semillas.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de semillas que germinan. ¿Cuál es su media?
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  16tolerancia ±0,001
  n p = 80 × 0,20 = 16,00. Con n p y n (1 − p) = 64,00, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
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  3,5777tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(12,8000) = 3,5777.
  Si te dio otro número
  12,8 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 14 o menos?
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  0,3375tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 14) ≈ P(Z ≤ (14 + 0,5 − 16,00) / 3,5777) = Φ(-0,42) = 0,3375. Se suma 0,5 porque «14 o menos» incluye entero al 14.
  Si te dio otro número
  0,2881 — Falta la corrección por continuidad: con z = (14 − 16,00) / 3,5777 se deja afuera la mitad de la barra del 14.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,3463tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 14 da 0,3463. La aproximación con corrección erró por 0,0088; sin corrección, por 0,0582.
Ejercicio 6
El 35 % de los pacientes responde a un tratamiento. Se tratan 200 pacientes.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de pacientes que responden. ¿Cuál es su media?
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  70tolerancia ±0,001
  n p = 200 × 0,35 = 70,00. Con n p y n (1 − p) = 130,00, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
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  6,7454tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(45,5000) = 6,7454.
  Si te dio otro número
  45,5 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 60 o menos?
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  0,0795tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 60) ≈ P(Z ≤ (60 + 0,5 − 70,00) / 6,7454) = Φ(-1,41) = 0,0795. Se suma 0,5 porque «60 o menos» incluye entero al 60.
  Si te dio otro número
  0,0691 — Falta la corrección por continuidad: con z = (60 − 70,00) / 6,7454 se deja afuera la mitad de la barra del 60.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,0783tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 60 da 0,0783. La aproximación con corrección erró por 0,0012; sin corrección, por 0,0092.
Ejercicio 7
El 55 % de los hogares de una ciudad tiene mascota. Se eligen al azar 80 hogares.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de hogares que tienen mascota. ¿Cuál es su media?
  Ver la respuesta
  44tolerancia ±0,001
  n p = 80 × 0,55 = 44,00. Con n p y n (1 − p) = 36,00, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
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  4,4497tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(19,8000) = 4,4497.
  Si te dio otro número
  19,8 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 37 o menos?
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  0,072tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 37) ≈ P(Z ≤ (37 + 0,5 − 44,00) / 4,4497) = Φ(-1,46) = 0,0720. Se suma 0,5 porque «37 o menos» incluye entero al 37.
  Si te dio otro número
  0,0578 — Falta la corrección por continuidad: con z = (37 − 44,00) / 4,4497 se deja afuera la mitad de la barra del 37.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,0724tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 37 da 0,0724. La aproximación con corrección erró por 0,0003; sin corrección, por 0,0145.
Ejercicio 8
El 35 % de las piezas de una línea de producción sale defectuosa. Se revisan 135 piezas.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de piezas que salen defectuosas. ¿Cuál es su media?
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  47,25tolerancia ±0,001
  n p = 135 × 0,35 = 47,25. Con n p y n (1 − p) = 87,75, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
  Ver la respuesta
  5,5419tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(30,7125) = 5,5419.
  Si te dio otro número
  30,7125 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 45 o menos?
  Ver la respuesta
  0,3761tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 45) ≈ P(Z ≤ (45 + 0,5 − 47,25) / 5,5419) = Φ(-0,32) = 0,3761. Se suma 0,5 porque «45 o menos» incluye entero al 45.
  Si te dio otro número
  0,3424 — Falta la corrección por continuidad: con z = (45 − 47,25) / 5,5419 se deja afuera la mitad de la barra del 45.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,3793tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 45 da 0,3793. La aproximación con corrección erró por 0,0032; sin corrección, por 0,0369.
Ejercicio 9
El 55 % de las semillas de un lote germina. Se siembran 80 semillas.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de semillas que germinan. ¿Cuál es su media?
  Ver la respuesta
  44tolerancia ±0,001
  n p = 80 × 0,55 = 44,00. Con n p y n (1 − p) = 36,00, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
  Ver la respuesta
  4,4497tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(19,8000) = 4,4497.
  Si te dio otro número
  19,8 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 42 o menos?
  Ver la respuesta
  0,368tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 42) ≈ P(Z ≤ (42 + 0,5 − 44,00) / 4,4497) = Φ(-0,34) = 0,3680. Se suma 0,5 porque «42 o menos» incluye entero al 42.
  Si te dio otro número
  0,3265 — Falta la corrección por continuidad: con z = (42 − 44,00) / 4,4497 se deja afuera la mitad de la barra del 42.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,3669tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 42 da 0,3669. La aproximación con corrección erró por 0,0011; sin corrección, por 0,0403.
Ejercicio 10
El 40 % de los pacientes responde a un tratamiento. Se tratan 175 pacientes.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de pacientes que responden. ¿Cuál es su media?
  Ver la respuesta
  70tolerancia ±0,001
  n p = 175 × 0,40 = 70,00. Con n p y n (1 − p) = 105,00, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
  Ver la respuesta
  6,4807tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(42,0000) = 6,4807.
  Si te dio otro número
  42 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 65 o menos?
  Ver la respuesta
  0,2437tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 65) ≈ P(Z ≤ (65 + 0,5 − 70,00) / 6,4807) = Φ(-0,69) = 0,2437. Se suma 0,5 porque «65 o menos» incluye entero al 65.
  Si te dio otro número
  0,2202 — Falta la corrección por continuidad: con z = (65 − 70,00) / 6,4807 se deja afuera la mitad de la barra del 65.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,2446tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 65 da 0,2446. La aproximación con corrección erró por 0,0009; sin corrección, por 0,0244.
Ejercicio 11
El 30 % de los hogares de una ciudad tiene mascota. Se eligen al azar 50 hogares.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de hogares que tienen mascota. ¿Cuál es su media?
  Ver la respuesta
  15tolerancia ±0,001
  n p = 50 × 0,30 = 15,00. Con n p y n (1 − p) = 35,00, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
  Ver la respuesta
  3,2404tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(10,5000) = 3,2404.
  Si te dio otro número
  10,5 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 13 o menos?
  Ver la respuesta
  0,3217tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 13) ≈ P(Z ≤ (13 + 0,5 − 15,00) / 3,2404) = Φ(-0,46) = 0,3217. Se suma 0,5 porque «13 o menos» incluye entero al 13.
  Si te dio otro número
  0,2685 — Falta la corrección por continuidad: con z = (13 − 15,00) / 3,2404 se deja afuera la mitad de la barra del 13.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,3279tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 13 da 0,3279. La aproximación con corrección erró por 0,0062; sin corrección, por 0,0593.
Ejercicio 12
El 30 % de las piezas de una línea de producción sale defectuosa. Se revisan 125 piezas.
La binomial es discreta y la normal, continua. La corrección por continuidad trata cada valor entero k como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
1. a) Sea X la cantidad de piezas que salen defectuosas. ¿Cuál es su media?
  Ver la respuesta
  37,5tolerancia ±0,001
  n p = 125 × 0,30 = 37,50. Con n p y n (1 − p) = 87,50, los dos por encima de 5, la aproximación normal es aceptable.
2. b) ¿Y su desvío estándar?
  Ver la respuesta
  5,1235tolerancia ±0,005
  √(n p (1 − p)) = √(26,2500) = 5,1235.
  Si te dio otro número
  26,25 — Es la varianza: falta la raíz.
3. c) Con la aproximación normal y la corrección por continuidad, ¿cuál es la probabilidad de que X sea 36 o menos?
  Ver la respuesta
  0,4226tolerancia ±0,003
  P(X ≤ 36) ≈ P(Z ≤ (36 + 0,5 − 37,50) / 5,1235) = Φ(-0,20) = 0,4226. Se suma 0,5 porque «36 o menos» incluye entero al 36.
  Si te dio otro número
  0,3848 — Falta la corrección por continuidad: con z = (36 − 37,50) / 5,1235 se deja afuera la mitad de la barra del 36.
4. d) Con la tabla binomial del sitio o con un programa, ¿cuál es la probabilidad exacta?
  Ver la respuesta
  0,4276tolerancia ±0,001
  Sumando las probabilidades binomiales de 0 a 36 da 0,4276. La aproximación con corrección erró por 0,0050; sin corrección, por 0,0428.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.