Distribución de la proporción muestral

Su error estándar, una probabilidad, el rango del 95 % y el tamaño mínimo para una precisión dada. Con la confusión entre el desvío de cada persona y el de la proporción marcada aparte.

12 ejercicios · 48 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
Se sabe que el 70 % de los hogares tiene conexión fija a internet. Se toma una muestra aleatoria de 370 hogares.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0238tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,70 × 0,30 / 370) = √0,000568 = 0,0238, o sea 2,38 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0006 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4583 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 74 %?
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  0,9534tolerancia ±0,003
  Con n p = 259 y n (1 − p) = 111, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,74 − 0,70) / 0,0238 = 1,6790, y Φ(1,68) = 0,9534.
  Si te dio otro número
  0,5348 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
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  0,7467tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,70 + 1,96 × 0,0238 = 0,7467. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 65,3 % y 74,7 %.
  Si te dio otro número
  1,5982 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos hogares habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,015?
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  934
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,015: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,2100 / 0,000225 = 933,33. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 934.
  Si te dio otro número
  933 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  15 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 2
Se sabe que el 19 % de las personas adultas fuma. Se toma una muestra aleatoria de 320 personas adultas.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0219tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,19 × 0,81 / 320) = √0,000481 = 0,0219, o sea 2,19 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0005 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,3923 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 16 %?
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  0,0857tolerancia ±0,003
  Con n p = 61 y n (1 − p) = 259, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,16 − 0,19) / 0,0219 = -1,3680, y Φ(-1,37) = 0,0857.
  Si te dio otro número
  0,4695 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
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  0,233tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,19 + 1,96 × 0,0219 = 0,2330. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 14,7 % y 23,3 %.
  Si te dio otro número
  0,9589 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántas personas adultas habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,020?
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  385
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,020: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,1539 / 0,000400 = 384,75. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 385.
  Si te dio otro número
  384 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  8 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 3
Se sabe que el 39 % de los partos de la provincia son por cesárea. Se toma una muestra aleatoria de 320 partos.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0273tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,39 × 0,61 / 320) = √0,000743 = 0,0273, o sea 2,73 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0007 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4878 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 36 %?
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  0,1356tolerancia ±0,003
  Con n p = 125 y n (1 − p) = 195, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,36 − 0,39) / 0,0273 = -1,1003, y Φ(-1,10) = 0,1356.
  Si te dio otro número
  0,4755 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
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  0,4434tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,39 + 1,96 × 0,0273 = 0,4434. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 33,7 % y 44,3 %.
  Si te dio otro número
  1,346 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos partos habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,015?
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  1.058
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,015: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,2379 / 0,000225 = 1.057,33. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 1058.
  Si te dio otro número
  1.057 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  16 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 4
Se sabe que el 22 % de los ingresantes abandona durante el primer año. Se toma una muestra aleatoria de 280 ingresantes.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0248tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,22 × 0,78 / 280) = √0,000613 = 0,0248, o sea 2,48 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0006 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4142 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 26 %?
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  0,9469tolerancia ±0,003
  Con n p = 62 y n (1 − p) = 218, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,26 − 0,22) / 0,0248 = 1,6158, y Φ(1,62) = 0,9469.
  Si te dio otro número
  0,5385 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
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  0,2685tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,22 + 1,96 × 0,0248 = 0,2685. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 17,1 % y 26,9 %.
  Si te dio otro número
  1,0319 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos ingresantes habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,015?
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  763
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,015: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,1716 / 0,000225 = 762,67. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 763.
  Si te dio otro número
  762 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  12 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 5
Se sabe que el 61 % de los hogares tiene conexión fija a internet. Se toma una muestra aleatoria de 210 hogares.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0337tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,61 × 0,39 / 210) = √0,001133 = 0,0337, o sea 3,37 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0011 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4878 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 58 %?
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  0,1864tolerancia ±0,003
  Con n p = 128 y n (1 − p) = 82, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,58 − 0,61) / 0,0337 = -0,8913, y Φ(-0,89) = 0,1864.
  Si te dio otro número
  0,4755 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
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  0,676tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,61 + 1,96 × 0,0337 = 0,6760. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 54,4 % y 67,6 %.
  Si te dio otro número
  1,566 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos hogares habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,015?
  Ver la respuesta
  1.058
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,015: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,2379 / 0,000225 = 1.057,33. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 1058.
  Si te dio otro número
  1.057 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  16 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 6
Se sabe que el 19 % de las personas adultas fuma. Se toma una muestra aleatoria de 270 personas adultas.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0239tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,19 × 0,81 / 270) = √0,000570 = 0,0239, o sea 2,39 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0006 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,3923 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 22 %?
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  0,8955tolerancia ±0,003
  Con n p = 51 y n (1 − p) = 219, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,22 − 0,19) / 0,0239 = 1,2566, y Φ(1,26) = 0,8955.
  Si te dio otro número
  0,5305 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
  Ver la respuesta
  0,2368tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,19 + 1,96 × 0,0239 = 0,2368. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 14,3 % y 23,7 %.
  Si te dio otro número
  0,9589 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántas personas adultas habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,020?
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  385
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,020: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,1539 / 0,000400 = 384,75. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 385.
  Si te dio otro número
  384 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  8 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 7
Se sabe que el 38 % de los partos de la provincia son por cesárea. Se toma una muestra aleatoria de 240 partos.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0313tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,38 × 0,62 / 240) = √0,000982 = 0,0313, o sea 3,13 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,001 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4854 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 41 %?
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  0,8308tolerancia ±0,003
  Con n p = 91 y n (1 − p) = 149, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,41 − 0,38) / 0,0313 = 0,9575, y Φ(0,96) = 0,8308.
  Si te dio otro número
  0,5246 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
  Ver la respuesta
  0,4414tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,38 + 1,96 × 0,0313 = 0,4414. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 31,9 % y 44,1 %.
  Si te dio otro número
  1,3314 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos partos habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,025?
  Ver la respuesta
  377
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,025: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,2356 / 0,000625 = 376,96. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 377.
  Si te dio otro número
  376 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  10 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 8
Se sabe que el 13 % de los ingresantes abandona durante el primer año. Se toma una muestra aleatoria de 880 ingresantes.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0113tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,13 × 0,87 / 880) = √0,000129 = 0,0113, o sea 1,13 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0001 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,3363 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 11 %?
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  0,0389tolerancia ±0,003
  Con n p = 114 y n (1 − p) = 766, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,11 − 0,13) / 0,0113 = -1,7642, y Φ(-1,76) = 0,0389.
  Si te dio otro número
  0,4763 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
  Ver la respuesta
  0,1522tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,13 + 1,96 × 0,0113 = 0,1522. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 10,8 % y 15,2 %.
  Si te dio otro número
  0,7892 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos ingresantes habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,015?
  Ver la respuesta
  503
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,015: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,1131 / 0,000225 = 502,67. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 503.
  Si te dio otro número
  502 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  8 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 9
Se sabe que el 67 % de los hogares tiene conexión fija a internet. Se toma una muestra aleatoria de 590 hogares.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
  Ver la respuesta
  0,0194tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,67 × 0,33 / 590) = √0,000375 = 0,0194, o sea 1,94 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0004 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4702 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 65 %?
  Ver la respuesta
  0,1508tolerancia ±0,003
  Con n p = 395 y n (1 − p) = 195, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,65 − 0,67) / 0,0194 = -1,0331, y Φ(-1,03) = 0,1508.
  Si te dio otro número
  0,483 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
  Ver la respuesta
  0,7079tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,67 + 1,96 × 0,0194 = 0,7079. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 63,2 % y 70,8 %.
  Si te dio otro número
  1,5916 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos hogares habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,020?
  Ver la respuesta
  553
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,020: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,2211 / 0,000400 = 552,75. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 553.
  Si te dio otro número
  552 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  12 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 10
Se sabe que el 21 % de las personas adultas fuma. Se toma una muestra aleatoria de 670 personas adultas.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
  Ver la respuesta
  0,0157tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,21 × 0,79 / 670) = √0,000248 = 0,0157, o sea 1,57 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0002 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4073 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 19 %?
  Ver la respuesta
  0,1019tolerancia ±0,003
  Con n p = 141 y n (1 − p) = 529, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,19 − 0,21) / 0,0157 = -1,2710, y Φ(-1,27) = 0,1019.
  Si te dio otro número
  0,4804 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
  Ver la respuesta
  0,2408tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,21 + 1,96 × 0,0157 = 0,2408. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 17,9 % y 24,1 %.
  Si te dio otro número
  1,0083 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántas personas adultas habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,015?
  Ver la respuesta
  738
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,015: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,1659 / 0,000225 = 737,33. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 738.
  Si te dio otro número
  737 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  12 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 11
Se sabe que el 35 % de los partos de la provincia son por cesárea. Se toma una muestra aleatoria de 670 partos.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
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  0,0184tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,35 × 0,65 / 670) = √0,000340 = 0,0184, o sea 1,84 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0003 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,477 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 32 %?
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  0,0518tolerancia ±0,003
  Con n p = 234 y n (1 − p) = 436, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,32 − 0,35) / 0,0184 = -1,6281, y Φ(-1,63) = 0,0518.
  Si te dio otro número
  0,4749 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
  Ver la respuesta
  0,3861tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,35 + 1,96 × 0,0184 = 0,3861. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 31,4 % y 38,6 %.
  Si te dio otro número
  1,2849 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos partos habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,020?
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  569
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,020: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,2275 / 0,000400 = 568,75. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 569.
  Si te dio otro número
  568 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  12 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.
Ejercicio 12
Se sabe que el 21 % de los ingresantes abandona durante el primer año. Se toma una muestra aleatoria de 380 ingresantes.
La proporción muestral es una media de ceros y unos. Su error estándar sale igual que el de cualquier media: el desvío de la variable, √(p(1 − p)), dividido por √n.
1. a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
  Ver la respuesta
  0,0209tolerancia ±0,0005
  √(p(1 − p) / n) = √(0,21 × 0,79 / 380) = √0,000437 = 0,0209, o sea 2,09 puntos porcentuales.
  Si te dio otro número
  0,0004 — Falta la raíz: eso es la varianza de la proporción muestral.
  0,4073 — Es el desvío de la variable, de cada persona. El de la proporción se divide además por √n.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra quede por debajo del 18 %?
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  0,0755tolerancia ±0,003
  Con n p = 80 y n (1 − p) = 300, los dos por encima de 10, la aproximación normal vale. z = (0,18 − 0,21) / 0,0209 = -1,4358, y Φ(-1,44) = 0,0755.
  Si te dio otro número
  0,4706 — Se tipificó con √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. La proporción de la muestra varía mucho menos que un caso aislado.
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo que contiene al 95 % central de las proporciones muestrales posibles?
  Ver la respuesta
  0,251tolerancia ±0,001
  p + 1,96 × EE = 0,21 + 1,96 × 0,0209 = 0,2510. De cada 100 muestras de este tamaño, unas 95 dan una proporción entre 16,9 % y 25,1 %.
  Si te dio otro número
  1,0083 — Se usó √(p(1 − p)), el desvío de cada persona, en lugar del error estándar. Ese intervalo describe una variable que solo vale 0 o 1, no la proporción de una muestra.
4. d) ¿Cuántos ingresantes habría que relevar, como mínimo, para que el error estándar no pase de 0,015?
  Ver la respuesta
  738
  Se despeja n de √(p(1 − p) / n) ≤ 0,015: n ≥ p(1 − p) / e² = 0,1659 / 0,000225 = 737,33. El tamaño se redondea siempre hacia arriba: 738.
  Si te dio otro número
  737 — Se redondeó hacia abajo. Con un caso menos el error queda apenas por encima del límite.
  12 — Se dividió por e y no por e². El error estándar baja con la raíz de n, así que al despejar el límite queda al cuadrado.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.