Intervalo de confianza y de predicción

Para un x₀ alejado de la media: la predicción, el intervalo para el promedio y el intervalo para un caso nuevo, que es mucho más ancho.

12 ejercicios · 48 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
Con 17 casos se ajustó la recta de la nota final sobre las horas de estudio semanales: ŷ = 10,43 + 0,348 x, con s = 1,500. Además, x̄ = 9,24 y Sxx = 122,68. Interesa x₀ = 3 horas, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  11,474tolerancia ±0,01
  10,43 + 0,348 × 3 = 11,474 puntos.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  0,92tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 1,500 × √(1/17 + (-6,24)² / 122,68) = 0,9200.
  Si te dio otro número
  0,3638 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  13,435tolerancia ±0,02
  Con t = 2,1314 (15 grados de libertad): 11,474 + 2,1314 × 0,9200 = 13,435.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  15,2247tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 1,7597, y el límite, 11,474 + 2,1314 × 1,7597 = 15,225. Es 1,9 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  13,435 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 2
Con 24 casos se ajustó la recta de su precio en miles de dólares sobre la superficie de un departamento: ŷ = -6,79 + 1,378 x, con s = 22,424. Además, x̄ = 63,70 y Sxx = 7.680,84. Interesa x₀ = 92 m², al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  119,986tolerancia ±0,01
  -6,79 + 1,378 × 92 = 119,986 miles de dólares.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  8,5664tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 22,424 × √(1/24 + (28,30)² / 7.680,84) = 8,5664.
  Si te dio otro número
  4,5773 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  137,7516tolerancia ±0,02
  Con t = 2,0739 (22 grados de libertad): 119,986 + 2,0739 × 8,5664 = 137,752.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  169,7684tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 24,0046, y el límite, 119,986 + 2,0739 × 24,0046 = 169,768. Es 2,8 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  137,7516 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 3
Con 21 casos se ajustó la recta de el consumo eléctrico de un barrio sobre la temperatura máxima del día: ŷ = -9,43 + 2,189 x, con s = 13,545. Además, x̄ = 27,45 y Sxx = 815,81. Interesa x₀ = 33 °C, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  62,807tolerancia ±0,01
  -9,43 + 2,189 × 33 = 62,807 MWh.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  3,9577tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 13,545 × √(1/21 + (5,55)² / 815,81) = 3,9577.
  Si te dio otro número
  2,9558 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  71,0906tolerancia ±0,02
  Con t = 2,0930 (19 grados de libertad): 62,807 + 2,0930 × 3,9577 = 71,091.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  92,3424tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 14,1114, y el límite, 62,807 + 2,0930 × 14,1114 = 92,342. Es 3,6 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  71,0906 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 4
Con 17 casos se ajustó la recta de el ingreso horario en miles de pesos sobre los años de educación: ŷ = 1,15 + 1,448 x, con s = 2,383. Además, x̄ = 11,00 y Sxx = 114,58. Interesa x₀ = 18 años, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  27,214tolerancia ±0,01
  1,15 + 1,448 × 18 = 27,214 miles de pesos.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  1,6621tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 2,383 × √(1/17 + (7,00)² / 114,58) = 1,6621.
  Si te dio otro número
  0,578 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  30,7566tolerancia ±0,02
  Con t = 2,1314 (15 grados de libertad): 27,214 + 2,1314 × 1,6621 = 30,757.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  33,4067tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 2,9054, y el límite, 27,214 + 2,1314 × 2,9054 = 33,407. Es 1,7 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  30,7566 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 5
Con 13 casos se ajustó la recta de la nota final sobre las horas de estudio semanales: ŷ = 9,41 + 0,311 x, con s = 1,638. Además, x̄ = 6,23 y Sxx = 194,27. Interesa x₀ = 2 horas, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  10,032tolerancia ±0,01
  9,41 + 0,311 × 2 = 10,032 puntos.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  0,6734tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 1,638 × √(1/13 + (-4,23)² / 194,27) = 0,6734.
  Si te dio otro número
  0,4543 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  11,5142tolerancia ±0,02
  Con t = 2,2010 (11 grados de libertad): 10,032 + 2,2010 × 0,6734 = 11,514.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  13,93tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 1,7710, y el límite, 10,032 + 2,2010 × 1,7710 = 13,930. Es 2,6 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  11,5142 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 6
Con 27 casos se ajustó la recta de su precio en miles de dólares sobre la superficie de un departamento: ŷ = 18,15 + 1,035 x, con s = 18,545. Además, x̄ = 60,11 y Sxx = 11.663,65. Interesa x₀ = 88 m², al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  109,23tolerancia ±0,01
  18,15 + 1,035 × 88 = 109,230 miles de dólares.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  5,9727tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 18,545 × √(1/27 + (27,89)² / 11.663,65) = 5,9727.
  Si te dio otro número
  3,569 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  121,5311tolerancia ±0,02
  Con t = 2,0595 (25 grados de libertad): 109,230 + 2,0595 × 5,9727 = 121,531.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  149,3562tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 19,4831, y el límite, 109,230 + 2,0595 × 19,4831 = 149,356. Es 3,3 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  121,5311 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 7
Con 17 casos se ajustó la recta de el consumo eléctrico de un barrio sobre la temperatura máxima del día: ŷ = 14,49 + 2,070 x, con s = 15,750. Además, x̄ = 27,81 y Sxx = 321,73. Interesa x₀ = 33 °C, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  82,8tolerancia ±0,01
  14,49 + 2,070 × 33 = 82,800 MWh.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  5,9465tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 15,750 × √(1/17 + (5,19)² / 321,73) = 5,9465.
  Si te dio otro número
  3,8199 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  95,4746tolerancia ±0,02
  Con t = 2,1314 (15 grados de libertad): 82,800 + 2,1314 × 5,9465 = 95,475.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  118,6833tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 16,8352, y el límite, 82,800 + 2,1314 × 16,8352 = 118,683. Es 2,8 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  95,4746 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 8
Con 15 casos se ajustó la recta de el ingreso horario en miles de pesos sobre los años de educación: ŷ = 9,38 + 0,767 x, con s = 4,518. Además, x̄ = 9,65 y Sxx = 238,93. Interesa x₀ = 16 años, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  21,652tolerancia ±0,01
  9,38 + 0,767 × 16 = 21,652 miles de pesos.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  2,1922tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 4,518 × √(1/15 + (6,35)² / 238,93) = 2,1922.
  Si te dio otro número
  1,1665 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  26,3879tolerancia ±0,02
  Con t = 2,1604 (13 grados de libertad): 21,652 + 2,1604 × 2,1922 = 26,388.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  32,5008tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 5,0218, y el límite, 21,652 + 2,1604 × 5,0218 = 32,501. Es 2,3 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  26,3879 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 9
Con 20 casos se ajustó la recta de la nota final sobre las horas de estudio semanales: ŷ = 9,58 + 0,362 x, con s = 1,549. Además, x̄ = 8,58 y Sxx = 153,70. Interesa x₀ = 11 horas, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  13,562tolerancia ±0,01
  9,58 + 0,362 × 11 = 13,562 puntos.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  0,4598tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 1,549 × √(1/20 + (2,42)² / 153,70) = 0,4598.
  Si te dio otro número
  0,3464 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  14,528tolerancia ±0,02
  Con t = 2,1009 (18 grados de libertad): 13,562 + 2,1009 × 0,4598 = 14,528.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  16,9567tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 1,6158, y el límite, 13,562 + 2,1009 × 1,6158 = 16,957. Es 3,5 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  14,528 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 10
Con 22 casos se ajustó la recta de su precio en miles de dólares sobre la superficie de un departamento: ŷ = 10,64 + 1,396 x, con s = 26,211. Además, x̄ = 59,56 y Sxx = 10.615,01. Interesa x₀ = 34 m², al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  58,104tolerancia ±0,01
  10,64 + 1,396 × 34 = 58,104 miles de dólares.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  8,5739tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 26,211 × √(1/22 + (-25,56)² / 10.615,01) = 8,5739.
  Si te dio otro número
  5,5882 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  75,9888tolerancia ±0,02
  Con t = 2,0860 (20 grados de libertad): 58,104 + 2,0860 × 8,5739 = 75,989.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
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  115,63tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 27,5777, y el límite, 58,104 + 2,0860 × 27,5777 = 115,630. Es 3,2 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  75,9888 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 11
Con 15 casos se ajustó la recta de el consumo eléctrico de un barrio sobre la temperatura máxima del día: ŷ = 12,96 + 1,533 x, con s = 12,081. Además, x̄ = 24,55 y Sxx = 517,58. Interesa x₀ = 37 °C, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  69,681tolerancia ±0,01
  12,96 + 1,533 × 37 = 69,681 MWh.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  7,3102tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 12,081 × √(1/15 + (12,45)² / 517,58) = 7,3102.
  Si te dio otro número
  3,1193 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  85,4737tolerancia ±0,02
  Con t = 2,1604 (13 grados de libertad): 69,681 + 2,1604 × 7,3102 = 85,474.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
  Ver la respuesta
  100,1865tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 14,1205, y el límite, 69,681 + 2,1604 × 14,1205 = 100,187. Es 1,9 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  85,4737 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.
Ejercicio 12
Con 27 casos se ajustó la recta de el ingreso horario en miles de pesos sobre los años de educación: ŷ = 6,25 + 1,058 x, con s = 3,695. Además, x̄ = 12,99 y Sxx = 261,30. Interesa x₀ = 16 años, al 95 %.
El intervalo de confianza es para el promedio de y en x₀; el de predicción, para un caso nuevo. El segundo suma la variabilidad de ese caso: el 1 debajo de la raíz.
1. a) ¿Cuál es el valor predicho ŷ en x₀?
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  23,178tolerancia ±0,01
  6,25 + 1,058 × 16 = 23,178 miles de pesos.
2. b) ¿Cuál es el error estándar de la media estimada en x₀?
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  0,9895tolerancia ±0,005
  s √(1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 3,695 × √(1/27 + (3,01)² / 261,30) = 0,9895.
  Si te dio otro número
  0,7111 — Es s / √n, que vale solo en x₀ = x̄. Lejos de la media la recta es más incierta: por eso el término (x₀ − x̄)².
3. c) ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza para la media en x₀?
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  25,2159tolerancia ±0,02
  Con t = 2,0595 (25 grados de libertad): 23,178 + 2,0595 × 0,9895 = 25,216.
4. d) ¿Y el límite superior del intervalo de predicción para un caso nuevo?
  Ver la respuesta
  31,0561tolerancia ±0,02
  El error estándar es s √(1 + 1/n + (x₀ − x̄)² / Sxx) = 3,8252, y el límite, 23,178 + 2,0595 × 3,8252 = 31,056. Es 3,9 veces más ancho: un caso varía mucho más que un promedio.
  Si te dio otro número
  25,2159 — Es el límite del intervalo de confianza. Para un caso individual falta sumar el 1 debajo de la raíz.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.