Error estándar de la media

Con y sin corrección por población finita, la probabilidad de la media muestral por el teorema central del límite y por qué para reducir el error a la mitad hace falta el cuádruple de casos.

12 ejercicios · 48 preguntas · la teoría está en la entrada del concepto.

Ejercicio 1
Se sabe que el ingreso por hora de los 430 empleados de una empresa tiene media 4.611 y desvío estándar 1.433 pesos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 64 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  179,125tolerancia ±0,5
  σ / √n = 1.433 / √64 = 1.433 / 8,0000 = 179,1250 pesos.
  Si te dio otro número
  22,3906 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  165,4505tolerancia ±0,5
  La muestra es el 14,9 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(366 / 429) = 0,9237, y el error estándar queda 179,1250 × 0,9237 = 165,4505 pesos.
  Si te dio otro número
  179,125 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  152,8199 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 4.772 pesos?
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  0,1653tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 4.611 y desvío 165,4505. Entonces z = (4.772 − 4.611) / 165,4505 = 0,9731, y P(Z > 0,97) = 0,1653.
  Si te dio otro número
  0,4553 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  256
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 64 = 256.
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  128 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 2
Se sabe que el tiempo de espera de los 1.170 pacientes atendidos en un mes en una guardia tiene media 50,5 y desvío estándar 27,2 minutos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 170 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  2,0861tolerancia ±0,01
  σ / √n = 27,2 / √170 = 27,2 / 13,0384 = 2,0861 minutos.
  Si te dio otro número
  0,16 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  1,9295tolerancia ±0,01
  La muestra es el 14,5 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(1.000 / 1.169) = 0,9249, y el error estándar queda 2,0861 × 0,9249 = 1,9295 minutos.
  Si te dio otro número
  2,0861 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  1,7846 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 52,5 minutos?
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  0,15tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 50,5 y desvío 1,9295. Entonces z = (52,5 − 50,5) / 1,9295 = 1,0366, y P(Z > 1,04) = 0,1500.
  Si te dio otro número
  0,4707 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  680
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 170 = 680.
  Si te dio otro número
  340 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 3
Se sabe que la deuda de los 1.850 socios de una cooperativa tiene media 86,8 y desvío estándar 56,9 miles de pesos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 431 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  2,7408tolerancia ±0,01
  σ / √n = 56,9 / √431 = 56,9 / 20,7605 = 2,7408 miles de pesos.
  Si te dio otro número
  0,132 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  2,401tolerancia ±0,01
  La muestra es el 23,3 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(1.419 / 1.849) = 0,8760, y el error estándar queda 2,7408 × 0,8760 = 2,4010 miles de pesos.
  Si te dio otro número
  2,7408 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  2,1034 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 88,4 miles de pesos?
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  0,2526tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 86,8 y desvío 2,4010. Entonces z = (88,4 − 86,8) / 2,4010 = 0,6664, y P(Z > 0,67) = 0,2526.
  Si te dio otro número
  0,4888 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  1.724
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 431 = 1.724.
  Si te dio otro número
  862 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 4
Se sabe que la antigüedad de los 1.230 docentes de un distrito tiene media 12,9 y desvío estándar 7,9 años, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 215 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  0,5388tolerancia ±0,01
  σ / √n = 7,9 / √215 = 7,9 / 14,6629 = 0,5388 años.
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  0,0367 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  0,4896tolerancia ±0,01
  La muestra es el 17,5 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(1.015 / 1.229) = 0,9088, y el error estándar queda 0,5388 × 0,9088 = 0,4896 años.
  Si te dio otro número
  0,5388 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  0,445 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 13,3 años?
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  0,207tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 12,9 y desvío 0,4896. Entonces z = (13,3 − 12,9) / 0,4896 = 0,8169, y P(Z > 0,82) = 0,2070.
  Si te dio otro número
  0,4798 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  860
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 215 = 860.
  Si te dio otro número
  430 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 5
Se sabe que el ingreso por hora de los 990 empleados de una empresa tiene media 3.942 y desvío estándar 1.543 pesos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 279 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  92,377tolerancia ±0,5
  σ / √n = 1.543 / √279 = 1.543 / 16,7033 = 92,3770 pesos.
  Si te dio otro número
  5,5305 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  78,325tolerancia ±0,5
  La muestra es el 28,2 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(711 / 989) = 0,8479, y el error estándar queda 92,3770 × 0,8479 = 78,3250 pesos.
  Si te dio otro número
  92,377 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  66,4106 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 3.817 pesos?
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  0,9447tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 3.942 y desvío 78,3250. Entonces z = (3.817 − 3.942) / 78,3250 = -1,5959, y P(Z > -1,60) = 0,9447.
  Si te dio otro número
  0,5323 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
  Ver la respuesta
  1.116
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 279 = 1.116.
  Si te dio otro número
  558 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 6
Se sabe que el tiempo de espera de los 1.440 pacientes atendidos en un mes en una guardia tiene media 44,5 y desvío estándar 28,2 minutos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 443 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  1,3398tolerancia ±0,01
  σ / √n = 28,2 / √443 = 28,2 / 21,0476 = 1,3398 minutos.
  Si te dio otro número
  0,0637 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
  Ver la respuesta
  1,1152tolerancia ±0,01
  La muestra es el 30,8 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(997 / 1.439) = 0,8324, y el error estándar queda 1,3398 × 0,8324 = 1,1152 minutos.
  Si te dio otro número
  1,3398 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  0,9283 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 45,4 minutos?
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  0,2098tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 44,5 y desvío 1,1152. Entonces z = (45,4 − 44,5) / 1,1152 = 0,8070, y P(Z > 0,81) = 0,2098.
  Si te dio otro número
  0,4873 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  1.772
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 443 = 1.772.
  Si te dio otro número
  886 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 7
Se sabe que la deuda de los 1.150 socios de una cooperativa tiene media 89,4 y desvío estándar 61,0 miles de pesos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 199 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  4,3242tolerancia ±0,01
  σ / √n = 61,0 / √199 = 61,0 / 14,1067 = 4,3242 miles de pesos.
  Si te dio otro número
  0,3065 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  3,934tolerancia ±0,01
  La muestra es el 17,3 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(951 / 1.149) = 0,9098, y el error estándar queda 4,3242 × 0,9098 = 3,9340 miles de pesos.
  Si te dio otro número
  4,3242 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  3,579 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 95,9 miles de pesos?
  Ver la respuesta
  0,0492tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 89,4 y desvío 3,9340. Entonces z = (95,9 − 89,4) / 3,9340 = 1,6523, y P(Z > 1,65) = 0,0492.
  Si te dio otro número
  0,4576 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  796
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 199 = 796.
  Si te dio otro número
  398 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 8
Se sabe que la antigüedad de los 1.140 docentes de un distrito tiene media 12,7 y desvío estándar 8,1 años, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 333 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
  Ver la respuesta
  0,4439tolerancia ±0,01
  σ / √n = 8,1 / √333 = 8,1 / 18,2483 = 0,4439 años.
  Si te dio otro número
  0,0243 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
  Ver la respuesta
  0,3736tolerancia ±0,01
  La muestra es el 29,2 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(807 / 1.139) = 0,8417, y el error estándar queda 0,4439 × 0,8417 = 0,3736 años.
  Si te dio otro número
  0,4439 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  0,3145 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 13,3 años?
  Ver la respuesta
  0,0542tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 12,7 y desvío 0,3736. Entonces z = (13,3 − 12,7) / 0,3736 = 1,6059, y P(Z > 1,61) = 0,0541.
  Si te dio otro número
  0,4705 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  1.332
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 333 = 1.332.
  Si te dio otro número
  666 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 9
Se sabe que el ingreso por hora de los 1.370 empleados de una empresa tiene media 4.240 y desvío estándar 1.472 pesos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 370 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
  Ver la respuesta
  76,5256tolerancia ±0,5
  σ / √n = 1.472 / √370 = 1.472 / 19,2354 = 76,5256 pesos.
  Si te dio otro número
  3,9784 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
  Ver la respuesta
  65,4041tolerancia ±0,5
  La muestra es el 27,0 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(1.000 / 1.369) = 0,8547, y el error estándar queda 76,5256 × 0,8547 = 65,4041 pesos.
  Si te dio otro número
  76,5256 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  55,8989 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 4.141 pesos?
  Ver la respuesta
  0,9349tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 4.240 y desvío 65,4041. Entonces z = (4.141 − 4.240) / 65,4041 = -1,5137, y P(Z > -1,51) = 0,9349.
  Si te dio otro número
  0,5268 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  1.480
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 370 = 1.480.
  Si te dio otro número
  740 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 10
Se sabe que el tiempo de espera de los 1.590 pacientes atendidos en un mes en una guardia tiene media 47,8 y desvío estándar 31,2 minutos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 536 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
  Ver la respuesta
  1,3476tolerancia ±0,01
  σ / √n = 31,2 / √536 = 31,2 / 23,1517 = 1,3476 minutos.
  Si te dio otro número
  0,0582 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
  Ver la respuesta
  1,0976tolerancia ±0,01
  La muestra es el 33,7 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(1.054 / 1.589) = 0,8144, y el error estándar queda 1,3476 × 0,8144 = 1,0976 minutos.
  Si te dio otro número
  1,3476 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  0,8939 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 49,0 minutos?
  Ver la respuesta
  0,1371tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 47,8 y desvío 1,0976. Entonces z = (49,0 − 47,8) / 1,0976 = 1,0933, y P(Z > 1,09) = 0,1371.
  Si te dio otro número
  0,4847 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  2.144
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 536 = 2.144.
  Si te dio otro número
  1.072 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 11
Se sabe que la deuda de los 1.640 socios de una cooperativa tiene media 92,6 y desvío estándar 63,5 miles de pesos, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 336 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  3,4642tolerancia ±0,01
  σ / √n = 63,5 / √336 = 63,5 / 18,3303 = 3,4642 miles de pesos.
  Si te dio otro número
  0,189 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  3,09tolerancia ±0,01
  La muestra es el 20,5 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(1.304 / 1.639) = 0,8920, y el error estándar queda 3,4642 × 0,8920 = 3,0900 miles de pesos.
  Si te dio otro número
  3,4642 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  2,7561 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 97,7 miles de pesos?
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  0,0494tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 92,6 y desvío 3,0900. Entonces z = (97,7 − 92,6) / 3,0900 = 1,6505, y P(Z > 1,65) = 0,0494.
  Si te dio otro número
  0,468 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  1.344
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 336 = 1.344.
  Si te dio otro número
  672 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.
Ejercicio 12
Se sabe que la antigüedad de los 2.000 docentes de un distrito tiene media 12,6 y desvío estándar 9,7 años, con una distribución bastante asimétrica. Se toma una muestra aleatoria simple, sin reposición, de 610 de ellos.
El desvío mide cuánto varían las personas; el error estándar, cuánto variaría la media de una muestra a otra. La asimetría no importa: con esta n, la media ya se comporta como normal.
1. a) Sin tener en cuenta el tamaño de la población, ¿cuál es el error estándar de la media muestral?
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  0,3927tolerancia ±0,01
  σ / √n = 9,7 / √610 = 9,7 / 24,6982 = 0,3927 años.
  Si te dio otro número
  0,0159 — Se dividió por n en lugar de por su raíz. Lo que se divide por n es la varianza.
2. b) Con la corrección por población finita, ¿cuál es el error estándar?
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  0,3275tolerancia ±0,01
  La muestra es el 30,5 % de la población, así que la corrección importa. El factor es √((N − n) / (N − 1)) = √(1.390 / 1.999) = 0,8339, y el error estándar queda 0,3927 × 0,8339 = 0,3275 años.
  Si te dio otro número
  0,3927 — Es el error estándar sin corregir. Cuando la muestra pasa del 5 % de la población, la fórmula habitual sobreestima el error.
  0,2731 — Se multiplicó por (N − n) / (N − 1) sin sacarle la raíz. Ese factor corrige la varianza, no el error estándar.
3. c) Con el error estándar corregido, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra supere 12,1 años?
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  0,9366tolerancia ±0,003
  Por el teorema central del límite la media muestral es aproximadamente normal, con media 12,6 y desvío 0,3275. Entonces z = (12,1 − 12,6) / 0,3275 = -1,5267, y P(Z > -1,53) = 0,9366.
  Si te dio otro número
  0,5206 — Se tipificó con el desvío de la población en lugar del error estándar. Eso contesta si una persona supera el valor, no la media de la muestra.
4. d) En una población tan grande que la corrección no cambie nada, ¿cuántos casos harían falta para que el error estándar sea la mitad del de la primera pregunta?
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  2.440
  El error estándar baja con la raíz de n. Para dividirlo por 2 hay que multiplicar n por 2² = 4: 4 × 610 = 2.440.
  Si te dio otro número
  1.220 — Duplicar la muestra no divide el error por dos, sino por √2: lo baja un 29 %.

Las respuestas se calculan de los datos de cada enunciado y se recalculan por un camino independiente antes de publicarse. Cómo se hace.